2020高三数学二轮复习 第一篇 专题3 第2课练习 理

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1、专题3 第2课时 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题 1．已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝(　　) A．－55　　　　　　　　　　　 B．－5 C．5 D．55 解析：　∵an＝(－1)n(n＋1)，∴a1＋a2＋a3＋…＋a10＝－2＋3－…－10＋11＝(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋(－8＋9)＋(－10＋11)＝1＋1＋1＋1＋1＝5，故选C. 答案：　C 2．向量v＝，v是直线y＝x的方向向量，a1＝5，则数列{an}的前10项和为(　　) A．50 B．100

2、 C．150 D．200 解析：　依题意得＝an＋1－，an＋1＝an.又a1＝5，所以an＝5，数列{an}的前10项和为5×10＝50，选A. 答案：　A 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝ax2＋x(a∈N*)的图象上，则(　　) A．n与an的奇偶性相异 B．n与an的奇偶性相同 C．a与an的奇偶性相异 D．a与an的奇偶性相同 解析：　Sn＝an2＋n，an＝Sn－Sn－1＝an2＋n－a(n－1)2－(n－1)＝2an＋1－a(n≥2)，an与1－a的奇偶性相同，故选C. 答案：　C 4．(2020·

3、江南十校二模)数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－1(n∈N*)，则Tn＝＋＋…＋的结果可化为(　　) A．1－ B．1－ C. D. 解析：　由Sn＝2an－1得， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， ∴an＝2an－1，由a1＝2a1－1得a1＝1， ∴an＝2n－1，则＝n－1·n＝2n－1， ∴Tn＝＋3＋…＋2n－1＝ ＝，故选C. 答案：　C 5．已知数列{an}中，a1＝1，an＋an＋1＝2n，则数列{an＋1－an}的前10项和T10等于(　　) A．0 B．5 C．10 D．20 解析：　由题意T10＝

4、a11－a1＝a11－1，由a1＝1，an＋an＋1＝2n，∴an＋1＝2n－an，得a2＝1，a3＝2×2－a2＝3，a4＝2×3－a3＝3，a5＝2×4－a4＝5，a6＝2×5－a5＝5，a7＝2×6－a6＝7，a8＝7，a9＝9，a10＝9，a11＝11. ∴T10＝11－1＝10.故选C. 答案：　C 6．甲、乙两个工厂2020年1月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相同；乙厂的产值逐月增加，且每月增长的百分率相同，已知2020年1月份两厂的产值又相等，则2020年7月份产值高的工厂是(　　) A．甲厂 B．乙厂 C．产值一样 D．无法确定 解析：　

5、设甲、乙两厂自2020年1月份开始的产值分别构成数列{an}与{bn}，由已知得{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且a1＝b1，a13＝b13， ∴a7＝＝>＝＝b7. 答案：　A 二、填空题 7．数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的两个根，则数列{bn}的前n项和Sn等于________． 解析：　由an＋an＋1＝2n＋1，a1＝1知，an＝n， 又∵＝an·an＋1，∴bn＝＝－， 故Sn＝1－＝. 答案：　 8．(2020·北京卷)在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…

6、＋|an|＝________. 解析：　∵{an}为等比数列，且a1＝，a4＝－4， ∴q3＝＝－8， ∴q＝－2，∴an＝·(－2)n－1，∴|an|＝2n－2， ∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝＝＝(2n－1)＝2n－1－. 答案：　－2　2n－1－ 9．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________． 解析：　由a4－a2＝8，得2d＝8，∴d＝4. 又a3＋a5＝26，得a4＝13，∴a1＝1. 于是Sn＝n＋·4＝(2n－1)n， T

7、n＝＝2－<2. 要使M≥Tn恒成立，只需M≥2， ∴M的最小值是2. 答案：　2 三、解答题 10．设函数f(x)＝x3，在等差数列{an}中，a3＝7，a1＋a2＋a3＝12，记Sn＝f()，令bn＝anSn，数列的前n项和为Tn. (1)求{an}的通项公式和Sn； (2)求证：Tn<. 解析：　(1)设数列{an}的公差为d，由a3＝a1＋2d＝7，a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12，解得a1＝1，d＝3，∴an＝3n－2. ∵f(x)＝x3，∴Sn＝f()＝an＋1＝3n＋1. (2)证明：∵bn＝anSn＝(3n－2)(3n＋1)， ∴＝ ＝. ∴Tn＝

8、＋＋…＋ ＝， ∴Tn＝<. 11．已知等比数列{an}中，公比q∈(0,1)，a2＋a4＝，a1a5＝，设bn＝nan(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：　(1)由题意知：a2·a4＝a1·a5＝， 联立方程得：. ∵q∈(0,1)，∴a2>a4， ∴解方程组得a2＝1，a4＝， ∴q＝，a1＝2，∴an＝2×n－1＝n－2. (2)由(1)知：an＝n－2，所以bn＝n·n－1. ∴Sn＝1×0＋2×1＋3×2＋…＋(n－1)n－2＋n·n－1①， Sn＝1×1＋2×2＋…＋(n－2)n－2＋(n－1)·n

9、－1＋n·n②， ∴①－②得：Sn＝0＋1＋2＋…＋n－2＋n－1－n·n ＝－n·n， ∴Sn＝4－n－2－n·n－1. 12．(2020·湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%. (1)求第n年初M的价值an的表达式； (2)设An＝，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新． 解析：　(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝

10、130－10n； 当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，为公比的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6. 因此，第n年初，M的价值an的表达式为 an＝ (2)证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)， An＝120－5(n－1)＝125－5n； 当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70××4×＝780－210×n－6，An＝. 易知{An}是递减数列， 又A8＝＝82>80， A9＝＝76 <80， 所以须在第9年初对M更新．