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1、 一题多解专题二：已知函数的单调性求参数范围问题
已知函数单调性,求参数范围的两个方法
(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.
(2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则
”来求解.
例：若函数在上单调递减,求实数的取值范围.
思路点拨: 先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解.
解析：方法一：由在上单调递减知，即在上恒成立,
即在上恒成立.故只需, 故.
2、 综上可知，的取值范围是［3,+∞).
方法二：当时，,故在上单调递增，与在
上单调递减不符，舍去.
当时，由得≤x≤0，即的单调递减区间为，与
在上单调递减不符，舍去.
当时，由得0≤x≤，即的减区间为，由在 上单调递减得,得a≥3.
综上可知，的取值范围是［3,+∞).
针对性练习：
1．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则b的取
3、值范围是( )
A．b＜－1或b＞2 B．b≤－2或b≥2 C．－1＜b＜2 D．－1≤b≤2
解析 D 由题意，得y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0在R上恒成立，∴Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，
解得－1≤b≤2.
2．函数f(x)＝x3＋(2－a)x2－2ax＋5在区间[－1,1]上不单调，则a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝x2＋(2－a)x－2a＝(x＋2)(x－a)＝0的两根为x1＝－2，x2＝a.若f(x)在[－1,1] 上不单调，则－10，函数f(x
4、)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．
解析 由题意知，f′(x)＝3x2－a在[1，＋∞)上有3x2－a≥0恒成立，∴a≤(3x2)min，而 (3x2)min＝3，∴a≤3.
4．已知f(x)＝ex－ax－1. 若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．
解析 ∵f(x)＝ex－ax－1， ∴f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex，x∈R恒成立．
∵x∈R时，ex∈(0，＋∞)，∴a≤0. 即a的取值范围为(－∞，0]．
5、
5．函数f(x)＝－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________．
解析 由题意知≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.
6.已知函数在R上是减函数，求实数a的取值范围．
解 由题意得f′(x)＝3ax2＋6x－1.若f(x)在R上是减函数，
则(x∈R)恒成立， ∴解得a≤－3.
故实数a的取值范围是(－∞，－3]．
7.已知函数在(－∞，1]上是增函数，试求实数a的取值范围．
解析 ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋1，由于函数f(x)在(－∞，1]上是增函数，
∴当x∈(－∞，1]时，(在个别点f′(x)可以为0)恒成立，
即3x2＋2ax＋1≥0在x≤1时恒成立．令g(x)＝3x2＋2ax＋1，
∴Δ＝4a2－12≤0或， 即a2≤3或
∴a2≤3，即－≤a≤. 故a的取值范围是[－，]．
2020高三数学二轮复习 一题多解专题二 已知函数的单调性求参数范围问题
