2020高考数学热点集中营 热点20 以椭圆和抛物线为背景的解析几何大题 新课标

《2020高考数学热点集中营 热点20 以椭圆和抛物线为背景的解析几何大题 新课标》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020高考数学热点集中营 热点20 以椭圆和抛物线为背景的解析几何大题 新课标（36页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 【两年真题重温】 【2020新课标全国理，20】在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，··，点的轨迹为曲线． (Ⅰ) 求的方程； (Ⅱ) 为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值． ∴点到的距离===， 当时取等号，∴点到的距离的最小值为． 【2020新课标全国理，20】设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。 则. 【2020新课标全国文，20】设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦: , 化简得 则 因为直线AB的斜率为1，所以即 . 则,解得. 【命题意图猜想】

2、【最新考纲解读】 1．圆锥曲线 (1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． (2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质． (3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质． (4)了解圆锥曲线的简单应用． (5)理解数形结合的思想． 2．曲线与方程 结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想． 【回归课本整合】 （1）若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。 的距离分别为，

3、焦点的面积为，设,则在椭圆中，有以下结论： ,. （3） 在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率. （4）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点,反之亦成立. 5.求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下： 步 骤 含 义 说 明 1、“建”：建立坐标系；“设”：设动点坐标. 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标. (1) 所研究的问题已给出坐标系，即可直接设点. (2) 没有给出坐标系，首先要选取适当的坐标系. 2、现(限)：由限制条件，列出几何等式. 写出适合条件P的点M的集合P={

4、M|P(M)} 这是求曲线方程的重要一步，应仔细分析题意，使写出的条件简明正确. 3、“代”：代换 用坐标法表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式. 4、“化”：化简 化方程f(x,y)=0为最简形式. 要注意同解变形. 5、证明 证明化简以后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 化简的过程若是方程的同解变形，可以不要证明，变形过程中产生不增根或失根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围). 注意：这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化. 【方法技巧提炼】 线的定义，然后直接利用定义便可确定抛物线的方程；

5、 （2）求最值问题：主要把握两个转化：一是把抛物线上的点到焦点的距离可以转化为到准线的距离；二是把点到抛物线的距离转化为到焦点的距离.在解题时要准确把握题设的条件，进行有效的转化，探求最值问题. x F P y A M 例2 已知P点为抛物线的动点，点P在轴上的射影是M，点A的坐标是，则的最小值是（ ） A. B.4 C. D.5 答案：C 解析:利用抛物线定义，把可转化为. 因A在抛物线外，当P、A、F三点共线时，取得最小值.如图3，焦点F, 当P、A、F三点共线时，取得最小值，此时故选C. A． B． C． D．

6、答案：B 解析一：采用向量问题坐标化， 设M, 又，代入可得 B x A O y M C D 解析二：如图，考虑几何性质：, 因，可知三点共线,又，则四边形OCMD为矩形. 如图所示可知：利用三角形相似可知 又，可得 例4 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(0,1)，离心率e＝. (1)求椭圆C的方程； (2)在椭圆C上任取不同两点A，B，点A关于x轴的对称点为A′，当A，B变化时，如果直线AB经过x轴上的定点(1,0)，问直线A′B是否也经过x轴上的一个定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，说明理由． 【解答】 (1)依题意可得解得a＝2

7、，b＝1. 所以椭圆C的方程是＋y2＝1. ． 【解答】 (1)点A坐标代入圆C方程，得(3－m)2＋1＝5. ∵m＜3，∴m＝1. 圆C：(x－1)2＋y2＝5. 设直线PF1的斜率为k， 则PF1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0. ∵直线PF1与圆C相切，∴＝. 4．直线和抛物线若有一个公共点，并不能说明直线和抛物线相切，还有可能直线与抛物线的对称轴平行． 5．曲线与方程 (1)“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有点适合这个条件而毫无例外(纯粹性)． (2)“以方程的解为坐标的点都在曲线上

8、”，阐明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性)． (3)由(1)(2)两个条件可知，曲线的点集与方程的解集之间是一一对应的． 6．在求得轨迹方程之后，要深入地思考一下：(1)是否还遗漏了一些点？是否还有另一个满足条件的轨迹方程存在？(2)在所求得的轨迹方程中，x，y的取值范围是否有什么限制？确保轨迹上的点“不多不少”． 【新题预测演练】 1.【2020年河北省普通高考模拟考试】 已知圆C的方程为，过点作圆C的两条切线，切点分别为A、B，， ∴ = 当且仅当时取等号，则面积的最大值为1. ………..12分 依题意，直线与椭圆必相交于

9、两点，设，， 则，. ……………………7分 又，， 所以 ………………………8分 解：（1）由题意可设抛物线的方程为，则由抛物线的定义可得，即， 所以抛物线的方程为 . ……………4分 （I）求动点轨迹的方程; （II）过点的直线交曲线于两点，设点关于轴的对称点为(不重合)，求证：直线过定点. 解一：（1）由题知： …………2分 化简得：……………………………4分 解三：由对称性可知，若过定点，则定点一定在轴上， 设，:， 代入整理得…………

10、6分 ,，…………8分 （II）设直线：，，，，， 由得.…………6分 所以，. ……………………8分 而 ，，…………10分 ∴三点共线 ……………………………………12分 ，又. .……………………………………………………………8分 （Ⅱ）设的坐标分别为、、 则直线的方程为：………………………………………………6分 令得，同理得………………………………………8分 在椭圆上，所以………………………………10分 所以 所以为定值0. ………………………………………………………………12分 而 ……………

11、…………11分 由代入化简得： 即；当且仅当时，取到最大值。……………………………………13分 ， 由韦达定理，代入上式， 化简整理得，即，故所求范围是. 2分 （ⅱ）依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为，. 由，. 2分 而 . 所以 , 故直线MA、MB的倾斜角互补， 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形． 3分 8.【唐山市2020学年度高三年级第一次模拟考试】 中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经

12、过点C(2, 2),且·＝2 (I )求椭圆E的方程； (II)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程. 解： 9.【2020年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测】 在△ABC中，顶点A，B，动点D，E满足：①；②，③共线. （Ⅰ）求△ABC顶点C的轨迹方程； （Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与顶点C的轨迹有两个不同交点M，N，就一定有，若存在，求该圆的方程；若不存在，请说明理由. 解：(I)设C（x,y）,由得，动点的坐标为； 由得，动点E在y轴上，再结合与共线， 得，动点E的坐标为;

13、 …………2分 由的，， 整理得，. 当直线MN的斜率不存在时，可得，满足. 综上所述：存在圆满足题意. …………12分 10.【2020年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)】 ，求的取值范围. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . ………………1分 因为椭圆的离心率为， 所以，. ………………3分 故椭圆的方程为 . ………………4分 （Ⅱ）解：当轴时，显然.

14、 ………………5分 12.【北京市东城区2020学年度高三数第一学期期末检测】 已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且△是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，， 故椭圆方程为． 　　　　 …………5分 13.【河北省石家庄市2020届高三上学期教学质量检测(一)】 已知焦点在轴上的椭圆C1：=1经过A(1，0)点，且离心率为． (

15、I)求椭圆C1的方程； (Ⅱ)过抛物线C2：(h∈R)上P点的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与轴平行时，求h的最小值． 解：（Ⅰ）由题意可得，……………2分 解得， 当时，，当且仅当时取得等号，此时，满足①式。 综上，的最小值为1.………………12分 14.【唐山市2020学年度高三年级第一学期期末考试】 解： （Ⅰ）由椭圆方程，a＝，b＝1，c＝1，则点F为(－1，0)． 直线AB方程为y＝k(x＋1)，代入椭圆方程，得 (2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0． ① 设A(x1，y1)，B(x2，y

16、2)，M(x0，y0)，则 x0＝＝－，y0＝k(x0＋1)＝， 由点M在直线x＋2y＝0上，知－2k2＋2k＝0， ∵k≠0，∴k＝1． …6分 （Ⅱ）将k＝1代入①式，得3x2＋4x＝0， 不妨设x1＞x2，则x1＝0，x2＝－， …8分 记α＝∠ACF，β＝∠BCF，则 tanα＝＝＝，tanβ＝－＝－＝， ∴α＝β， ∴tan∠ACB＝tan2α＝＝．…12分 15.【山东省德州市2020届高三上学期期末考试数学试题】 而 故恒成立 （Ⅲ）时,曲线方程为，假设存在直线与直线垂直,设直线的方程为 ………………………………………………8分 设直线与椭圆交点 解析：（Ⅰ）因为满足， ，…………2分