【优化方案】浙江省高三数学专题复习攻略 第二部分第四讲 解答题的解法考前优化训练 理 新人教版

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1、《优化方案》高三专题复习攻略（新课标）数学浙江理科第二部分第四讲 解答题的解法考前优化训练 1．(2020年高考福建卷)设函数f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π. (1)若点P的坐标为，求f(θ)的值； (2)若点P(x，y)为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值． 解： (1)由点P的坐标和三角函数的定义可得 于是f(θ)＝sinθ＋cosθ＝×＋＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．

2、 于是0≤θ≤. 又f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)， 且≤θ＋≤， 故当θ＋＝，即θ＝时， f(θ)取得最大值，且最大值等于2； 当θ＋＝，即θ＝0时， f(θ)取得最小值，且最小值等于1. 2．如图所示为某军训练基地，一条坑道宽4 m，坑道中有3排等距离的木柱子，并且木柱子上端与坑道面是水平的，士兵可以借助木柱子跳跃过坑道，已知士兵跳跃2 m的概率为，跳跃1 m的概率为，假定士兵从起跳点起跳，落在坑道边的着脚点处(落在任一着脚点处均可)． (1)求士兵跳跃3次过坑道的概率； (2)设士兵跳跃过坑道时跳跃的次数为X，求X的分布列及数学期望． 解：(1)设

3、起跳点为0，三排木柱子分别为1,2,3，着脚点为41,42，则士兵跳跃3次过坑道的情形有：2次2 m,1次1 m或2次 1 m,1次2 m的两种情况，即 0→1→3→42,0→2→3→42； 0→1→2→41,0→1→3→41,0→2→3→41. 概率为2×2×＋3×()2×＝. (2)随机变量X的取值为2,3,4，则 P(X＝2)＝2＝，即(0→2→41)， P(X＝3)＝2×2×＋3×2×＝， P(X＝4)＝3＝，即(0→1→2→3→41,0→1→2→3→42)， ∴E(X)＝2×＋3×＋4×＝. 3.如图所示，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，E为

4、棱CC1上的动点，F是线段AB的中点，AC＝BC＝2，AA1＝4. (1)求证：CF⊥平面ABB1； (2)当E是棱CC1的中点时，求证：CF∥平面AEB1； (3)在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A－EB1－B的大小是45°？若存在，求CE的长；若不存在，说明理由． 解：(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱B1B⊥底面ABC， ∵CF⊂平面ABC，∴B1B⊥CF. ∵AC＝BC，F是线段AB的中点， ∴CF⊥AB. ∵AB，B1B是平面ABB1内两相交直线， ∴CF⊥平面ABB1. (2)证明：如图所示，取AB1的中点D，连接ED，DF. ∵DF是△A

5、BB1的中位线， ∴DF綊B1B. ∵E是棱CC1的中点， ∴EC綊B1B.∴DF綊EC. ∴四边形EDFC是平行四边形．∴CF∥ED. ∵CF⊄平面AEB1，ED⊂平面AEB1， ∴CF∥平面AEB1. (3)假设存在点E，使二面角A－EB1－B的大小为45°，由于∠ACB＝90°，易证AC⊥平面BEB1， 过C点作CK⊥直线B1E于K，连接AK， 则∠AKC为二面角A－EB1－B的平面角， ∴∠AKC＝45°. ∴CK＝AC＝2， 设CE＝x，则＝，x＝， 故线段CE＝. 综上，在棱CC1上存在点E，使得二面角A－EB1－B的大小是45°，此时CE＝. 4．(

6、2020年高考四川卷)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和． 当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值； 当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列． 解：由已知，得an＝aqn－1，因此 S1＝a，S3＝a，S4＝a. 当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1， 可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0. 解得q＝. 若q＝1，则{an}的各项均为a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列． 若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn， 即＋＝，

7、 整理得qm＋ql＝2qn. 因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1＝2aqn＋k－1＝2an＋k. 所以，am＋k，an＋k，al＋k成等差数列． 5．(2020年高考北京卷)已知椭圆G：＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点． (1)求椭圆G的焦点坐标和离心率； (2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值． 解：(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝. 所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)， 离心率为e＝＝. (2)由题意知，|m|≥1. 当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为，， 此时|AB|＝.

8、 当m＝－1时，同理可得|AB|＝. 当|m|>1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)． 由，得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝. 又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1， 即m2k2＝k2＋1. 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝. 由于当m＝±1时， |AB|＝， 所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 因为|AB|＝＝≤2，且当m＝±时， |AB|＝2， 所以|AB|的最大值为2. 6．已知函数f(x)＝ex＋ax，g(x)＝exln x．(e≈

9、2.71828) (1)设曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋(e－1)y＝1垂直，求a的值； (2)若对于任意实数x≥0，f(x)>0恒成立，试确定实数a的取值范围． 解：(1)由题知，f′(x)＝ex＋a. 因此曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线l的斜率为e＋a， 又直线x＋(e－1)y＝1的斜率为， ∴(e＋a)＝－1， ∴a＝－1. (2)∵当x≥0时，f(x)＝ex＋ax>0恒成立； ∴若x＝0，a为任意实数，f(x)＝ex＋ax>0恒成立． 若x>0，f(x)＝ex＋ax>0恒成立， 即当x>0时，a>－恒成立． 设Q(x)＝－， Q′(x)＝－＝. 当x∈(0,1)时，Q′(x)>0，则Q(x)在(0,1)上单调递增， 当x∈(1，＋∞)时，Q′(x)<0，则Q(x)在(1，＋∞)上单调递减． ∴当x＝1时，Q(x)取得最大值． Q(x)max＝Q(1)＝－e， ∴要使x≥0时，f(x)>0恒成立，a的取值范围为(－e，＋∞)．