安徽省2020年高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第1讲 三角函数的图象与性质 文

《安徽省2020年高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第1讲 三角函数的图象与性质 文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省2020年高考数学第二轮复习 专题三 三角函数及解三角形第1讲 三角函数的图象与性质 文（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、专题三　三角函数及解三角形第1讲　三角函数的图象与性质 真题试做 1．(2020·大纲全国高考，文3)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝(　　)． A. B. C. D. 2．(2020·安徽高考，文7)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos 2x的图象(　　)． A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．(2020·天津高考，文7)将函数f(x)＝sin ωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是(　　)． A

2、. B．1 C. D．2 4．(2020·湖南高考，文18)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间． 考向分析 三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内容，主要从以下三个方面进行考查： 1．三角函数的概念与诱导公式，主要以选择、填空题的形式为主． 2．三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题，主要以选择、填空题的形式考查，有时也会出现大题． 3．三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为y＝Asin(ωx

3、＋φ)的形式再研究其性质，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质，既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题． 热点例析 热点一　三角函数的概念 【例1】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝(　　)． A．－ B．－ C. D. 规律方法 当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线固定时，通常先根据任意角三角函数的定义求这个角的三角函数． 特别提醒：(1)当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，根据定义求三角函数值时，要把这条直线看做两

4、条射线，分别求解． (2)在利用诱导公式和同角三角函数关系式时，一定要特别注意符号，一定要理解“奇变偶不变，符号看象限”的意思；同角三角函数的平方关系中，开方后的符号要根据角所在的象限确定． 变式训练1 (2020·福建莆田高三质检，11)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆交点的横坐标是－，若α∈(0，π)，则tan α＝__________. 热点二　三角函数图象及解析式 【例2】如图，根据函数的图象，求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的解析式． 规律方法 由部分图象确定函数解析式问题解决的关键在于确定参数A，ω，φ，其

5、基本方法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解．若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|，或代入点的坐标解关于A的方程；(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.可通过已知曲线与x轴的交点确定周期T，或者相邻的两个最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T；(3)从寻找五点法中的第一零点(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置，或者在五点中找两个特殊点列方程组解出φ.(4)代入点的坐标，通过解三角方程，再结合图象确定ω，φ. 特别提醒：

6、求y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，最难的是求φ，第一零点常常用来求φ，只要找准第一零点的横坐标，列方程就能求出φ.若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，可用诱导公式变换，使其符合要求． 变式训练2 (2020·福建泉州质检，8)下图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一部分，则其函数解析式是(　　)． A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 热点三　三角函数图象变换 【例3】(2020·四川绵阳高三三诊，10)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可由函数y＝cos x的图象

7、(纵坐标不变)(　　)． A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位 D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 规律方法 图象变换理论： (1)平移变换 ①沿x轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y轴平移，按“上加下减”法则； (2)伸缩变换 ①沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的(纵坐标y不变)； ②沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)为原来的A倍(横坐标x不变)． 特别提醒：对于图象

8、的平移和伸缩变换都要注意对应解析式是在x或在y的基础上改变了多少，尤其当x与y前的系数不为1时一定要将系数提出来再判断． 变式训练3 (2020·合肥八中冲刺卷，文7)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)满足对任意x∈R有f＝f成立，则φ的值可能是(　　)． A. B. C. D. 热点四　三角函数图象与性质的综合应用 【例4】(2020·上海浦东新区模拟，19)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，求方程g(x)＝1的解．

9、 规律方法 求解三角函数的奇偶性、对称性、周期、最值、单调区间等问题时，通常要运用各种三角函数公式，通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质． 有关常用结论与技巧： (1)我们往往运用整体换元法来求解单调性与对称性，求y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)的单调区间时一定要注意ω的取值情况，若ω＜0，则最好用诱导公式转化为－ω＞0后再去求解，否则极易出错． (2)①函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝kπ

10、(k∈Z)，是偶函数φ＝kπ＋(k∈Z)； ②函数y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函数φ＝kπ(k∈Z)； ③函数y＝Atan(ωx＋φ)，x∈R是奇函数φ＝kπ(k∈Z)． (3)对y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)结合函数图象可观察出如下几点： ①函数图象的对称轴都经过函数的最值点，对称中心的横坐标都是函数的零点； ②相邻两对称轴(对称中心)间的距离都是半个周期； ③图象上相邻两个最大(小)值点之间的距离恰好等于一个周期． 变式训练4 (2020·重庆高三模拟，17)已知函数f(x)＝4

11、sin ωxsin2＋cos 2ωx，其中ω＞0. (1)当ω＝1时，求函数f(x)的最小正周期； (2)若函数f(x)在区间上是增函数，求ω的取值范围． 思想渗透 整体代换思想——三角函数性质问题 (1)求函数的对称轴、对称中心； (2)求函数的单调区间． 求解时主要方法为： (1)关于函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的对称性，一般可利用正弦、余弦曲线的对称性，把ωx＋φ看成x，整体代换求得． (2)求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A＞0，ω≠0)的单调区间的步骤如下： ①若ω＞0，把ωx＋φ看成一个整体，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤

12、＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得区间即为增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)解得x的集合，所得区间即为减区间． ②若ω＜0，可先用诱导公式变为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间即为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间． 【典型例题】已知函数f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin 2x. (1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值； (2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间． 解：(1)由题设知f(x)＝. 因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴， 所以2x0＋＝kπ(k∈Z)，即

13、2x0＝kπ－(k∈Z)． 所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin. 当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin＝1－＝； 当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝. (2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋1＋sin 2x ＝＋ ＝＋ ＝sin＋. 当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时， 函数h(x)＝sin＋是增函数． 故函数h(x)的单调递增区间是(k∈Z)． 1．(2020·山东青岛一模，8)将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是(　　)． A．

14、x＝ B．x＝ C．x＝π D．x＝ 2．(2020·湖北孝感二模，8)若函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且·＝0，则A·ω＝(　　)． A.π B.π C. D.π 3．(2020·天津宝坻质检，4)设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f(x)－f(－x)＝0，则(　　)． A．f(x)在上是增函数 B．f(x)在上是减函数 C．f(x)在上是增函数 D．f(x)在上是减函数 4．(2020·湖北武

15、汉4月调研，7)已知函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的部分图象如图所示，则f(0)＝(　　)． A．－ B．－1 C．－ D．－ 5．已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，点P(－4m,3m)(m＜0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________. 6．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)－|sin x－cos x|，则f(x)的值域是__________． 7．(2020·安徽太和一中冲刺卷，文16)已知向量a＝与b＝共线，且有函数y＝f(x)． (1)若f(x)＝1，求cos的值； (2)在△ABC中，角A，B，C的对边

16、分别是a，b，c，且满足2acos C＋c＝2b，求函数f(B)的取值范围． 8.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分如图所示． (1)求函数f(x)的解析式； (2)当x∈时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值． 参考答案 命题调研·明晰考向 真题试做 1．C　解析：∵f(x)＝sin是偶函数，∴f(0)＝±1. ∴sin＝±1. ∴＝kπ＋(k∈Z)． ∴φ＝3kπ＋(k∈Z)． 又∵φ∈[0,2π]，∴当k＝0时，φ＝.故选C. 2．C　解析：∵y＝cos(2x＋1)＝cos， ∴只须将y＝cos 2x的图象向左平

17、移个单位即可得到y＝cos(2x＋1)的图象． 3．D　解析：f(x)＝sin ωx的图象向右平移个单位长度得： y＝sin. 又所得图象过点，∴sin＝0. ∴sin＝0.∴＝kπ(k∈Z)．∴ω＝2k(k∈Z)． ∵ω＞0，∴ω的最小值为2. 4．解：(1)由题中图象知，周期T＝2＝π， 所以ω＝＝2， 因为点在函数图象上， 所以Asin＝0，即sin＝0. 又因为0＜φ＜，所以＜＋φ＜， 从而＋φ＝π，即φ＝. 又点(0,1)在函数图象上， 所以Asin ＝1，得A＝2. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin. (2)g(x)＝2sin－2sin ＝

18、2sin 2x－2sin ＝2sin 2x－2 ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z， 所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z. 精要例析·聚焦热点 热点例析 【例1】 B　解析：(方法1)在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)， 则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos 2θ＝＝， ∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－1＝－. (方法2)由方法1知 tan θ＝＝2，cos 2θ＝＝＝－. 【变式训练1】 －　解析：由三角函数定义可知cos α＝－， 又α∈(0，π)

19、，故sin α＝＝， 所以tan α＝＝－. 【例2】 解：由图象可知A＝2，T＝2×[6－(－2)]＝16，即＝16， ∴ω＝.∴y＝2sin. 又∵点(2，－2)在曲线上，代入得2sin＝－2， ∴sin＝－1. ∴＋φ＝2kπ－，k∈Z. ∴φ＝2kπ－，k∈Z. 又∵|φ|＜π，∴k＝0时，φ＝－. ∴函数解析式为y＝2sin. 【变式训练2】 A　解析：由图象可知A＝1，＝－＝， ∴T＝2π.∴ω＝＝1. 又可看做“五点法”作图的第二个点， ∴＋φ＝. ∴φ＝.∴y＝sin. 【例3】 B　解析：由题中图象可知A＝1，＝－＝， ∴T＝π.∴ω＝＝2.

20、 又可看做“五点法”作图的第二个点， ∴＋φ＝.∴φ＝. ∴y＝sin. 由函数y＝cos x的图象(纵坐标不变)上各点的横坐标缩短到原来的倍，可得y＝cos 2x的图象，再向右平移个单位可得y＝cos2＝cos＝cos＝sin＝sin的图象． 【变式训练3】 A　解析：x＝为函数的对称轴，所以2·＋φ＝kπ＋，φ＝kπ＋，k∈Z，只有A符合． 【例4】 解：(1)f(x)＝sin＋1， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得： f(x)的单调递增区间是(k∈Z)． (2)由已知，g(x)＝sin＋1， 由g(x)＝1，得sin＝0， ∴x＝＋(k∈Z)． 【变式训练4

21、】 解：(1)由题可知： f(x)＝4sin ωx·＋cos 2ωx＝2sin ωx＋1. 当ω＝1时，f(x)＝2sin x＋1，则函数f(x)的最小正周期为2π. (2)由(1)知：f(x)＝2sin ωx＋1，欲使f(x)在上单调递增，结合y＝2sin ωx＋1的图象， 则有，于是ω∈. 创新模拟·预测演练 1．D　解析：函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos的图象，再向左平移个单位，得函数y＝cos＝cos的图象，令x－＝kπ，即x＝2kπ＋，k∈Z. 令k＝0，则x＝. 2．A　解析：由图象可知＝－＝， ∴T＝π.∴ω＝＝2

22、. 又M，N，·＝0， ∴×－A2＝0. ∴A＝.∴A·ω＝. 3．B　解析：由f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) ＝sin(ωx＋φ＋)，又最小正周期为π，∴ω＝＝2. f(x)＝sin(2x＋φ＋)． ∵f(－x)＝f(x)， ∴φ＋＝kπ＋，k∈Z，φ＝kπ＋，k∈Z. 由题意φ＝. f(x)＝sin＝cos 2x. 当0＜2x＜π，即0＜x＜时，f(x)单调递减． 当－π＜2x＜0，即－＜x＜0时，f(x)单调递增． 4．B　解析：由图象可知A＝2，图象过点，可看做“五点法”作图的第二个点，故2×＋φ＝，φ＝－， ∴f(x)＝2sin. 故f

23、(0)＝2sin＝－1. 5．－　解析：∵P(－4m,3m)(m＜0)， ∴r＝＝5|m|， 由m＜0得r＝－5m， ∴sin α＝＝－，cos α＝＝. ∴2sin α＋cos α＝－. 6.　解析：当sin x≥cos x时，f(x)＝cos x，当sin x＜cos x时，f(x)＝sin x．同时画出y＝sin x与y＝cos x在一个周期内的图象，函数f(x)的图象始终取y＝sin x与y＝cos x两者下方的图象，结合图象可得f(x)∈. 7．解：(1)∵a与b共线， ∴＝， y＝sincos＋cos2 ＝sin x＋(1＋cos x)＝sin＋. ∴f(x)

24、＝sin＋＝1，即sin＝， cos＝cos 2 ＝2cos2－1＝2sin2－1＝－. (2)已知2acos C＋c＝2b， 由正弦定理得， 2sin Acos C＋sin C＝2sin B＝2sin(A＋C)， 2sin Acos C＋sin C＝2sin Acos C＋2cos Asin C. ∴cos A＝.∴在△ABC中，A＝， 即f(B)＝sin＋. ∵A＝，∴0＜B＜，＜B＋＜. ∴＜sin≤1,1＜f(B)≤. ∴函数f(B)的取值范围为. 8．解：(1)由图象知A＝2，＝2T＝8＝， ∴ω＝，得f(x)＝2sin. 由×1＋φ＝φ＝. ∴f(x)＝2sin. (2)y＝2sin＋2sin ＝2sin＋2cos ＝2sin＝2cosx. ∵x∈， ∴x∈. ∴当x＝－，即x＝－时，y取最大值；当x＝－π，即x＝－4时，y取最小值－2.