【备战2020】高考数学 历届真题专题06 不等式 理

19、目标函数的最大值为8，则的最小值为________。 13. 4 【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是 ，易见目标函数在取最大值8， 所以，所以，在时是等号成立。所以的最小值为4. 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得，要想求的最小值，显然要利用基本不等式. 3. （2020湖北理数）12.已知，式中变量，满足约束条件，则的最大值为___________. 12.【答案】5 【解析】依题意，画出可行域（如图示）， 则对于目标函数y=2x-z， 当直线经过A（2

20、，－1）时， z取到最大值，. （2020湖北理数）15.设a>0,b>0,称为a，b的调和平均数。如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径做半圆。过点C作AB的垂线交半圆于D。连结OD，AD，BD。过点C作OD的垂线，垂足为E。则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段 的长度是a,b的几何平均数，线段 的长度是a,b的调和平均数。 【答案】CD DE 【解析】在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得，故，即CD长度为a,b的几何平均数，将OC=代入可得故，所以ED=OD-OE=，故DE的长度为a,b的调和平均数

21、. （2020江苏卷）12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 ▲ 。。 [解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。 ，，，的最大值是27。 （2020浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知 (I)求sinC的值； (Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长． 解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。 （Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及0＜C＜π 所以sinC=. （Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC

22、时，由正弦定理，得 c=4 由cos2C=2cos2C-1=，J及0＜C＜π得 cosC=± 由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得 b2±b-12=0 解得 b=或2 所以 b= b= c=4 或 c=4 （2020全国卷2理数）（17）（本小题满分10分） 中，为边上的一点，，，，求． 【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】 由cos∠ADC=＞0，知B＜. （2020辽宁理数）（

23、17）（本小题满分12分） 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求的最大值. 解： （Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故 ，A=120° ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得： 故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分 （2020江西理数）17.（本小题满分12高☆考♂资♀源*网分） 已知函数。 (1) 当m=

24、0时，求在区间上的取值范围； (2) 当时，，求m的值。 （2020四川理数）（19）（本小题满分12分） （Ⅰ）证明两角和的余弦公式； 由推导两角和的正弦公式. （Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC. 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。 解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4. 则P1(1,0),P2(cosα,sinα) P3(cos(

25、α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得 [cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2 展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ) ∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分 ②由①易得cos(－α)＝sinα,sin(－α)＝cosα sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)] ＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)

26、sin(－β) ＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分 (2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c 则S＝bcsinA＝ ＝bccosA＝3＞0 ∴A∈(0, ),cosA＝3sinA 又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝,cosA＝ 由题意，cosB＝,得sinB＝ ∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝ 故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－…………………………12分 （2020天津理数）（17）（本小题满分12分） 已知函数 （Ⅰ）求函数的最

27、小正周期及在区间上的最大值和最小值； （Ⅱ）若，求的值。 （Ⅱ）解：由（1）可知 又因为，所以 由，得 从而 所以 （2020广东理数）16、（本小题满分14分） 已知函数在时取得最大值4．　 （2020湖南理数）16．（本小题满分12分） 已知函数． （Ⅰ）求函数的最大值； （II）求函数的零点的集合。 （2020湖北理数） 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)= （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。 （2020福建理数）19．（本小题满分13

28、分） 。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。 （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 【解析】如图，由（1）得 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=， 由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，

29、 所以，解得， 从而值，且最小值为，于是 当取得最小值，且最小值为。 此时，在中，，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。 （2020安徽理数）16、（本小题满分12分） 设是锐角三角形，分别是内角所对边长，并且 。 (Ⅰ)求角的值； (Ⅱ)若，求（其中）。 （2020江苏卷）17、（本小题满分14分） 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。 (1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1

30、.20，请据此算出H的值； (2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？ [解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。 （1），同理：，。 AD—AB=DB，故得，解得：。 因此，算出的电视塔的高度H是124m。 （2）由题设知，得， ，（当且仅当时，取等号） 故当时，最大。 因为，则，所以当时，-最大。 故所求的是m。 （2020江苏卷）23.（本小题满分10分） 已知△ABC的三边长都是有理数。 （1） 求证

31、cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。 [解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。 （方法一）（1）证明：设三边长分别为，，∵是有理数， 是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， ∴必为有理数，∴cosA是有理数。 （2）①当时，显然cosA是有理数； 当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数； ②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。 当时，， ， ， 解得： ∵cosA，，均是有理数，∴是有理数， ∴是有理数。 即当时，结论成立。

32、综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 （方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知 是有理数。 （2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。 ①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。 ②假设当时，和都是有理数。 当时，由， ， 及①和归纳假设，知和都是有理数。 即当时，结论成立。 综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。 【2020年高考试题】 9．（2020·天津理6）设若的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不

33、等式求最值的运用，考查了变通能力。 解析：因为，所以， ，当且仅当即时“=”成立，故选择C 11．（2020·天津理10）,若关于x 的不等式＞的解集中的整数恰有3个，则 （A） （B） （C） （D） 解析：由题得不等式＞即，它的解应在两根之间，故有，不等式的解集为或。若不等式的解集为，又由得，故，即 13.（2020·山东12）设x，y满足约束条件 ， 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12， 则的最小值为( ). A. B. C. D. 4 解

34、析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z（a>0，b>0） 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时, 目标函数z=ax+by（a>0，b>0）取得最大12, 即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故选A. 答案:A 【命题立意】:本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘积进而用基本不等式解答. 14. (宁夏海南文理6)设满足则 （A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2

35、，无最大值 （C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值 答案：B 解析：画出不等式表示的平面区域，如右图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象，当它的平行线经过A（2,0）时，z取得最小值，最小值为：z＝2，无最大值，故选.B 15．(福建9)在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为 恒过（0，1），故看作直线绕点（0，1）旋转，当a=-5时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1时，面积是1；a=2时，面积是；当a=3时，面积恰好为2，故选D. 16．(山东5)在R上定义运

36、算⊙: ⊙,则满足⊙<0的实数的取值范围为( ). A.(0,2) B.(-2,1) C. D.(-1,2) 解析：:根据定义⊙,解得,所以所求的实数的取值范围为(-2,1),故选B. 答案:B. 10．(2020·山东13) 不等式的解集为 . 解析：:原不等式等价于不等式组①或② 或③不等式组①无解,由②得,由③得,综上得,所以原不等式的解集为. 答案: 11. (2020·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值是 ． 答案：4 解析：通过画出其线性规划，可知直线过点时，

37、12. (2020·广东文14)（不等式选讲选做题）不等式的实数解为 ． 解析：且. 13.（2020·山东文16）某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元. 解析：:设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示: 产品

38、 设备 A类产品 (件)(≥50) B类产品 (件)(≥140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为即:, 作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元. 答案:2300 14. (2020·浙江文13)若实数满足不等式组则的最小值 是 ． 答案： 4 3. (江苏12) 20．(本

39、小题满分16分) 设为实数，函数. (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集. [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分 （1）若，则 （2）当时， 当时， 综上 数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是 （A）[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9] 解析：本

40、题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M， 显然，只需要研究过、两种情形。且即 答案：C 4．（2020·广东理）若变量满足则的最大值是（ ） A．90 B．80 C．70 D．40 解析：画出可行域（如图），在点取最大值 答案：C 5．（2020·山东理）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为 . 解析：本题考查绝对值不等式 ，解得 答案：（5，7） 6．（2020·广东理）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是 ． ，当且仅当时取“=”。 答案：3 8．(2020·山东理14)设是不等式组表示的平面区域,则中的点到直线距离的最大值是_______. 答案： 解析：画图确定可行域，从而确定到直线直线距离的最大为 【2020年高考试题】 2．（2020·山东文理2）．已知集合，则（B） (A) (B) (C) (D) 答案：:C 解析：：函数的图象恒过定点，，，，