福建省漳浦县道周中学2020年高考数学专题复习 数列的综合应用教案 文

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1、福建省漳浦县道周中学2020年高考数学专题复习 数列的综合应用教案 文 1.数列常与不等式结合，如比较大小、不等式恒成立、求参数范围等，需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题. 2.数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、分期付款、合理定价等. 3.解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中. 4.数列应用题常见模型 (1)等差模型：如

2、果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. (3)分期付款模型：设贷款总额为a，年利率为r，等额还款数为b，分n期还完，则b＝a. [难点正本　疑点清源] 1.用函数的观点理解等差数列、等比数列 (1)对于等差数列，由an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点.当d>0时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理，d＝0时，函数是常函数，对应的数列是常数列；

3、d<0时，函数是减函数，对应的数列是递减数列. 若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2＋qn (p、q∈R).当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题. (2)对于等比数列：an＝a1qn－1.可用指数函数的性质来理解. ①当a1>0，q>1或a1<0,00,01时，等比数列{an}是递减数列. ③当q＝1时，是一个常数列. ④当q<0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列. 2.解答数列综合问题的注意事项 (1)要重视审题、精心联想、沟通联系； (2)将等差、等比

4、数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来. 题型一　等差数列与等比数列的综合应用 例1　在等比数列{an} (n∈N*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an； (3)试比较an与Sn的大小. 探究提高　在解决等差数列和等比数列综合题时，恰当地运用等差数列和等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度和准确度，如本例中就合理地应用了等差中项. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1 (n≥2

5、，q≠0). (1)设bn＝an＋1－an (n∈N*)，证明：{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项. 题型二　数列与函数的综合应用 例2　已知函数f(x)＝log2x－logx2(0

6、为0，且有f(1＋x)＝f(1－x)，直线g(x)＝4(x－1)的图象被f(x)的图象截得的弦长为4，数列{an}满足a1＝2，(an＋1－an)g(an)＋f(an)＝0 (n∈N*). (1)求函数f(x)的解析式； (2)求数列{an}的通项公式； (3)设bn＝3f(an)－g(an＋1)，求数列{bn}的最值及相应的n. 题型三　数列与不等式的综合应用 例3　已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝. (1)求b1，b2，b3，b4； (2)求数列{bn}的通项公式； (3)设Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1，求实数a为何值时，4aS

7、n1及a<1三种情况进行分类讨论，从而求得使不等式成立的a的取值范围. 已知函数f(x)＝，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f，n∈N*， (1)求数列{an}的通项公式； (2)令Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1，求Tn； (3)令bn＝ (n≥2)，b1＝3，Sn＝b1＋b2＋…

8、＋bn，若Sn<对一切n∈N*成立，求最小正整数m. 题型四　数列的实际应用 例4　某市2020年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2020年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59) 探究提高　解决此类问题的关键是如何把实

9、际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这恰好是数学实际应用的具体体现. 从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2020年投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业有促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加. (1)设n年内(2020年为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？ (参考数据：lg 2＝0.301 0) 　 　　　　　　　　　15

10、.用构造新数列的思想解题 试题：(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，an＝－2Sn·Sn－1 (n≥2). (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求证：S＋S＋…＋S≤－. 审题视角　(1)从求证内容来看，首先要求出Sn.(2)从Sn与Sn－1的递推关系看，可考虑构造新数列.(3)可考虑用放缩法证明. 规范解答 (1)解　∵an＝－2Sn·Sn－1 (n≥2)， ∴Sn－Sn－1＝－2Sn·Sn－1. 两边同除以Sn·Sn－1，得－＝2 (n≥2)， [2分] ∴数列是以＝＝2为首项，以d＝2为公差的等差数列， [3分] ∴

11、＝＋(n－1)·d＝2＋2(n－1)＝2n， ∴Sn＝. [5分] 将Sn＝代入an＝－2Sn·Sn－1， 得an＝ [6分] (2)证明　∵S＝<＝ (n≥2)，S＝， ∴当n≥2时，S＋S＋…＋S ＝＋＋…＋ <＋＋…＋ ＝－； [10分] 当n＝1时，S＝＝－. 综上，S＋S＋…＋S≤－.[12分] 批阅笔记　(1)在数列的解题过程中，常常要构造新数列，使新数列成为等差或等比数列.构造新数列可以使题目变得简单，而构造新数列要抓住题目信息，不能乱变形. (2)本题首先要构造新数列，其次应用放缩

12、法，并且发现只有应用放缩法才能用裂项相消法求和，从而把问题解决.事实上：<，也可以看成一个新构造：bn＝. (3)易错分析：构造不出新数列，从而使思维受阻.不会作不等式的放缩. 方法与技巧 1.深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键.两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆.同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错. 2.在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程组时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处. 3.数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度.

13、解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等. 4.在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题. 失误与防范 1.等比数列的前n项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习. 2.数列的应用还包括实际问题，要学会建模，对应哪一类数列，进而求解. 专题四　数列的综合应用 (时间：60分钟)

14、A组　专项基础训练题组 一、选择题 1.(2020·安徽)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　) 　A.15 B.12 C.－12 D.－15 2.(2020·福建)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于 (　　) A.6 B.7 C.8 D.9 3.设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列 (n∈N*)的前n项和是(　　) A. B. C.

15、D. 二、填空题 4.(2020·江苏)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________. 5.已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，则该数列前26项的和为_____________. 6.在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝________. 三、解答题 7.已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若

16、bn＝anlogan，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn＋n·2n＋1>50成立的最小正整数n的值. 8.某人有人民币1万元，若存入银行，年利率为6%；若购买某种股票，年分红利为24%，每年储蓄的利息和买股票所分的红利都存入银行. (1)问买股票多少年后，所得红利才能和原来的投资款相等？ (2)经过多少年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等？(精确到整年) (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.06≈0.025 3) B组　专项能力提升题组 一、选择题 1.{an}是等差数列，a2＝8，S10＝185，从{an}中依次取出第3项，第

17、9项，第27项，…，第3n项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，则bn等于 (　　) A.3n＋1＋2 B.3n＋1－2 C.3n＋2 D.3n－2 2.已知数列{an}的通项公式为an＝log2 (n∈N*)，设其前n项和为Sn，则使Sn<－5成立的自然数n (　　) A.有最小值63 B.有最大值63 C.有最小值31 D.有最大值31 3.已知数列{an}满足3an＋1＋an＝4 (n∈N*)且a1＝9，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小正整数n是

18、 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题 4.(2020·陕西)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米. 5.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 ……………… 按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为__________. 6.对正整数n，若曲线y＝xn (1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列

19、的前n项和为____________. 三、解答题 7.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an－. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝nan·2n，求数列{bn}的前n项和Sn. 8.已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝ (n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由. 答案 题型分类·深度剖析 例1　(1)证明　∵bn＝log2an，

20、∴bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数， ∴数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q. (2)Sn＝　an＝25－n (n∈N*) (3)解　显然an＝25－n>0， 当n≥9时，Sn＝≤0， ∴n≥9时，an>Sn. ∵a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1，a6＝，a7＝，a8＝， S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7，S8＝4， ∴当n＝3,4,5,6,7,8时，anSn. 变式训练1　(1)证明　由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1 (n≥2)， 得an＋1－an

21、＝q(an－an－1)， 即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0， 所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列. (2)an＝ (3)解　由(2)，当q＝1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q≠1. 由a3－a6＝a9－a3可得q5－q2＝q2－q8， 由q≠0得q3－1＝1－q6， ① 整理得(q3)2＋q3－2＝0，解得q3＝－2或q3＝1(舍去).于是q＝－. 另一方面， an－an＋3＝＝(q3－1)， an＋6－an＝＝(1－q6). 由①可得an－an＋3＝an＋6－an， 即2an＝an＋3＋an＋6，n∈N

22、*. 所以对任意的n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项. 例2　解　(1)由已知得log22an－＝2n，∴an－＝2n，即a－2nan－1＝0. ∴an＝n±. ∵0an， ∴{an}是递增数列. 变式训练2　(1)f(x)＝(x－1)2 (2)an＝n－1＋1 (3)解　bn＝3(an－1)2－4(an＋1－1)，令bn＝y，u＝n－1， 则y＝3 ＝32－. ∵n∈N*，∴u的值分别为1，，，，…，经比较距最近， ∴当n＝3时，bn有最小值是－

23、， 当n＝1时，bn有最大值是0. 例3　(1)b1＝，b2＝，b3＝，b4＝ (2)bn＝ (3)解　an＝1－bn＝， ∴Sn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1 ＝＋＋…＋ ＝＋＋…＋＝－＝. ∴4aSn－bn＝－ ＝. 由条件可知(a－1)n2＋(3a－6)n－8<0在[1，＋∞)上恒成立即可满足条件. 设f(x)＝(a－1)x2＋3(a－2)x－8， 则a＝1时，f(x)＝－3x－8<0，恒成立； a>1时，由二次函数的性质知不可能成立； a<1时，对称轴x＝－· ＝－<0. f(x)在[1，＋∞)上为单调递减函数. f(1)＝(a－1)＋(3a－

24、6)－8＝4a－15<0. ∴a<，∴a<1时，4aSn

25、列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1. 由题意可知an>0.85bn， 有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85.当n＝5时，a5<0.85b5，当n＝6时，a6>0.85b6， ∴满足上述不等式的最小正整数n为6. ∴到2020年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 变式训练4　(1)an＝4 000× ，bn＝1 600× (2)解　设经过n年，旅游业的总收入超过总投入，由此bn－an>0， 即1 600×－4 000×>0， 令x＝n，代入上式得5x2－7x＋2>0， 解此不等式

26、，得x<，或x>1(舍去)， 即n<，由此得n≥5. 答　至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 课时规范训练 A组 1.A　2.A　3.A　4.　5.－10　6.9 7.解　(1)设此等比数列为a1，a1q，a1q2，a1q3，…，其中a1≠0，q≠0. 由题意知：a1q＋a1q2＋a1q3＝28， ① a1q＋a1q3＝2(a1q2＋2). ② ②×7－①得6a1q3－15a1q2＋6a1q＝0， 即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝. ∵等比数列{an}单调递增，∴a1＝2，q＝2， ∴an＝2n. (2)由

27、(1)得bn＝－n·2n， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n). 设Tn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n， ③ 则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1. ④ 由③－④，得－Tn＝1×2＋1×22＋…＋1·2n－n·2n＋1 ＝2n＋1－2－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2， ∴－Tn＝－(n－1)·2n＋1－2. ∴Sn＝－(n－1)·2n＋1－2. 要使Sn＋n·2n＋1>50成立， 即－(n－1)·2n＋1－2＋n·2n＋1>50， 即2n>26. ∵24＝16<26,25＝32>2

28、6，且y＝2x是单调递增函数，∴满足条件的n的最小值为5. 8.解　设该人将1万元购买股票，x年后所得的总红利为y万元，则 y＝24%＋24%(1＋6%)＋24%(1＋6%)2＋…＋24%(1＋6%)x－1 ＝24%(1＋1.06＋1.062＋…＋1.06x－1) ＝4(1.06x－1). (1)由题意，得4(1.06x－1)＝1， ∴1.06x＝.两边取常用对数，得 xlg 1.06＝lg ＝lg 5－lg 4＝1－3lg 2. ∴x＝≈≈4. (2)由题意，得4(1.06x－1)＝(1＋6%)x， ∴1.06x＝.解得x≈5. 答　(1)买股票4年后所得的红利才能和原

29、来的投资款相等； (2)经过大约5年，买股票所得的红利与储蓄所拥有的人民币相等. B组 1.A　2.A　3.C　4.2 000 5.　6.2n＋1－2 7.(1)an＝，n∈N*　(2)Sn＝n·2n＋1 8.解　(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2. ∵a1＝1，解得d＝2，d＝0(舍). ∴an＝2n－1 (n∈N*). (2)bn＝＝ ＝， ∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝[＋＋] ＝＝. 假设存在整数t满足Sn>总成立， 又Sn＋1－Sn＝－ ＝>0， ∴数列{Sn}是单调递增的. ∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9. 又∵t∈Z，∴适合条件的t的最大值为8.