福建省漳浦县道周中学2020年高考数学专题复习 三角函数与平面向量的综合应用教案 文

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1、福建省漳浦县道周中学2020年高考数学专题复习 三角函数与平面向量的综合应用教案 文 1.同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强，对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高，考查公式的灵活运用及变形能力.通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容，且一直是高考的热点. 2.研究三角函数的性质，一般要化为f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的形式，若是奇函数，则可化为f(x)＝±Asin ωx；若是偶函数，则可化为f(x)＝±Acos ωx.求三角函数的定义域，实际上是利用三角函数图象或三

2、角函数线来确定不等式的解，求函数的单调区间可以转化为求y＝sin x与y＝cos x的单调区间. 3.解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现. 4.平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法.平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性. [难点正本　疑点清源] 1.三角函数问题一是化简求值问题，要熟练应用公式，紧扣角的范围，

3、才可避免出错；二是三角函数的性质，要先将函数式化简为y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的形式，再研究其性质. 2.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比，要理解它们的联系与区别.要用向量的思想和方法去分析解决问题，一定要突出向量的工具性作用. 题型一　三角函数式的化简求值问题 例1　已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1 (x∈R). (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； (2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值. 探究提高　(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算

4、规律”，对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“＋”，“－”的变化特点.(2)在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换.(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确. 已知向量m＝(－1，cos ωx＋sin ωx)，n＝(f(x)，cos ωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间距为π. (1)求ω的值； (2)设α是第一象限角，且f＝， 求的值. 题型二　三角形中的三角恒等变换 例2　设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边

5、分别为a，b，c，a＝2bsin A. (1)求B的大小； (2)求cos A＋sin C的取值范围. 探究提高　本题的难点是第(2)问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围. 设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c且3b2＋3c2－3a2＝4bc. (1)求sin A的值； (2)求的值. 题型三　平面向量与三角函数 例3　已知向量m＝， n＝. (1)若m·n＝1

6、，求cos的值； (2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围. 探究提高　向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题. 已知A、B、C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，α∈. (1)若||＝||，求角α的值； (2)若·＝－1，求 的值. 　　　　　　　8.平面向量与三角函数的综合问题 试题：(12分)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β

7、，－4sin β). (1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b. 审题视角　(1)利用向量的垂直关系，将向量间的关系转化成三角函数式，化简求值.(2)根据向量模的定义，将求模问题转化为求三角函数最值的问题.(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式. 规范解答 (1)解　由a与b－2c垂直， 得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0， 即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. [4分] (2)解　|b＋c|2＝(b＋c)2＝b2＋c2＋2b·c＝s

8、in2β＋16cos2β＋cos2β＋16sin2β＋2(sin βcos β－16sin βcos β) ＝17－30sin βcos β＝17－15sin 2β， 最大值为32，所以|b＋c|的最大值为4. [8分] (3)证明　由tan αtan β＝16， 得sin αsin β＝16cos αcos β， 即4 cos α·4cos β－sin αsin β＝0，故a∥b. [12分] 第一步：将向量间的关系转化成三角函数式. 第二步：化简三角函数式. 第三步：求三角函数式的值或分析三角函数式 的性质. 第四步：明确结论

9、. 第五步：反思回顾.查看关键点，易错点和规范 解答. 批阅笔记　(1)本题是典型的向量与三角函数的综合，题目难度中档，属高考的重点题型. (2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系，转化为三角函数式的问题，利用三角函数解决. (3)易错分析.在将向量关系转化为三角函数式时易出错.在第(3)问中，学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明a∥b.事实上是学生忽略了a∥b的条件. 方法与技巧 1.研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想，这主要体现在运用三角函数的图象研究三角函数的图象变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识；运用三角函数的图象解决

10、取值范围、交点个数、定义域等内容. 2.三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型，主要从以下两个方面进行考查. (1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角)，通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图象与性质等解决问题. (2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查. 3.加强数学思想方法的考查，转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题. 失误与防范 1.对于三角函数的化简求值问题，一要熟练应用公式化简，二要注意角的范围. 2.平面向量与三角函数问题，一般是通过向量运算，将

11、其转化为三角函数式，要注意转化的准确性和灵活性. 专题三　三角函数与平面向量的综合应用 (时间：60分钟) A组　专项基础训练题组 一、选择题 1.已知向量a＝(2，sin x)，b＝(cos2x,2cos x)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是 (　　) A. B.π C.2π D.4π 2.已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A).若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则角A，B的大小分别为 (　　) A.， B.， C.，

12、D.， 3.已知a＝，b＝(1，)，则|a＋tb| (t∈R)的最小值等于 (　　) A.1 B. C. D. 二、填空题 4.已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，则＝________. 5.在直角坐标系xOy中，已知点A(－1,2)，B(2cos x，－2cos 2x)，C(cos x,1)，其中x∈[0，π]，若⊥，则x的值为______. 6.已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f′(x)＝2f(x)，f′(x)是f(x)的导函数，则＝_________. 三、解答题 7.已知

13、函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R (A>0，ω>0，|φ|<)，若该函数图象上的一个最高点坐标为，与其相邻的对称中心的坐标是. (1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式； (2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自变量x的集合. 8.△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(2sin B，－)，n＝且m∥n. (1)求锐角B的大小； (2)如果b＝2，求S△ABC的最大值. B组　专项能力提升题组 一、选择题 1.已知向量＝(2,0)，向量＝(2,2)，向量＝(cos α，sin α)，则向量与向量的夹角的取值范围是 (　　

14、) A. B. C. D. 2.在△ABC中，·＝3，△ABC的面积S△ABC∈，则与夹角的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 3.(2020·大纲全国)设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，〈a－c，b－c〉＝60°，则|c|的最大值等于 (　　) A.2 B. C. D.1 二、填空题 4.已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值、最小值分别是__________. 5

15、.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝1， BC＝2，AB＝3，P是BC上的一个动点，当·取 得最小值时，tan∠DPA的值为________. 6.(2020·上海)在正三角形ABC中，D是BC上的点.若AB＝3，BD＝1，则·＝________. 三、解答题 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0. (1)判断△ABC的形状； (2)设向量m＝(2a，b)，n＝(a，－3b)，且m⊥n，(m＋n)·(n－m)＝14，求a，b，c的值. 8.已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|

16、a|＝3，|b|＝1，x为正实数. (1)若a＋2b与a－4b垂直，求tan θ； (2)若θ＝，求|xa－b|的最小值及对应的x的值，并指出向量a与xa－b的位置关系； (3)若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|xa－b|＝|ma|有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围. 答案 题型分类·深度剖析 例1　解　(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1， 得f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1) ＝sin 2x＋cos 2x＝2sin. 所以函数f(x)的最小正周期为π. 因为f(x)＝2sin在区间上为增函数，在区间上为减函

17、数，又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)，可知f(x0)＝2sin. 又因为f(x0)＝， 所以sin＝. 由x0∈， 得2x0＋∈. 从而cos ＝－＝－. 所以cos 2x0＝cos ＝coscos ＋sin·sin ＝. 变式训练1　(1)　(2)－ 例2　解　(1)由a＝2bsin A， 根据正弦定理得sin A＝2sin Bsin A， 所以sin B＝，由△ABC为锐角三角形可得B＝. (2)由(1)可知A＋C＝π－B＝， 故C＝－A. 故cos A＋sin C＝cos A＋sin

18、 ＝cos A＋sin＝cos A＋cos A＋sin A＝cos A＋sin A ＝ ＝sin， 由△ABC为锐角三角形可得，0

19、)cos B ＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C. ∴2sin Acos B＝sin(B＋C). ∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sin A≠0. ∴cos B＝，∵0

20、， 又由2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 得φ＝2kπ＋，k∈Z. 因为|φ|<，所以φ＝. 所以y＝3sin，x∈R. (2)由(1)知，函数的最小值为－3； 由2x＋＝2kπ－，k∈Z， 得x＝kπ－，k∈Z， ∴函数取得最小值时自变量x的集合为 . 8.解　(1)∵m∥n， ∴2sin B＝－cos 2B， ∴sin 2B＝－cos 2B，即tan 2B＝－. 又∵B为锐角，∴2B∈(0，π). ∴2B＝，∴B＝. (2)∵B＝，b＝2， 由余弦定理cos B＝， 得a2＋c2－ac－4＝0，又∵a2＋c2≥2ac， 代入上式，得ac≤4(当且仅当a＝c＝

21、2时等号成立). S△ABC＝acsin B＝ac≤(当且仅当a＝c＝2时等号成立).∴S△ABC的最大值为. B组 1.D　2.B　3.A　4.4、0　5.　6. 7.解　(1)因为lg a－lg b＝lg cos B－lg cos A≠0，所以＝≠1， 所以sin 2A＝sin 2B且a≠b. 因为A，B∈(0，π)且A≠B， 所以2A＝π－2B，即A＋B＝且A≠B. 所以△ABC是非等腰的直角三角形. (2)由m⊥n，得m·n＝0. 所以2a2－3b2＝0. ① 由(m＋n)·(n－m)＝14，得n2－m2＝14， 所以a2＋9b2－4a

22、2－b2＝14， 即－3a2＋8b2＝14. ② 联立①②，解得a＝，b＝2. 所以c＝＝. 故所求的a，b，c的值分别为，2，. 8.解　(1)由题意得，(a＋2b)(a－4b)＝0， 即a2－2a·b－8b2＝0， 得32－2×3×1×cos θ－8×12＝0， 得cos θ＝，又θ∈(0，π)，故θ∈， 因此，sin θ＝＝＝， tan θ＝＝. (2)|xa－b|＝ ＝ ＝ ＝， 故当x＝时，|xa－b|取得最小值为， 此时，a·(xa－b)＝xa2－a·b ＝×9－3×1×cos ＝0， 故向量a与xa－b垂直. (3)对方程|xa－b|＝|ma|两边平方整理， 得9x2－(6cos θ)x＋1－9m2＝0， ① 设方程①的两个不同正实数解为x1，x2， 则由题意得， 解之得，sin θ