陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 常见的新定义数列问题拓展资料素材 北师大版必修5（通用）

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1、常见的新定义数列问题 近年高考中，常常出现新定义数列的考题．题目常常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列知识理解彻透，并学会灵活运用这些知识去解决相关问题． 一、等和数列 【例1】 （2020·北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 已知数列是等和数列，且，公和为，那么的值为 ，且这个数列的前项和的值为 ． 【分析】 先对等和数列进行一般性的探讨．设是等和数列，公和为，则由等和数列的定义知，数列

2、的各项依次为即 为奇数； 为偶数． 为奇数； 为偶数． 【解析】 因为，公和为，所以，． 二、等积数列 【例2】 （2020·保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列是等积数列，且，公积为，则（ ） A． B． C． D． 【分析】 先对等积数列进行一般性的探讨． 设是等积数列，公积为，则由等积数列的定义知，数列的各项依次为 为奇数； 为偶数． 即 【解析】 由可得：，又因为，公积为，所以，，故选C． 三、等方比数列 【例3】 （

3、2020·湖北）若数列满足，（为正常数，），则称为“等方比数列”． 甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解析】 由等比数列的定义数列，若乙：是等比数列，公比为，即，则甲命题成立；反之，若甲：数列是等方比数列，即，即数列公比不一定为，则命题乙不成立，故选B． 四、绝对差数列 【例4】 （2020·北京）在数列中，若是正整数，且，，则称为“绝对差数列”． ⑴举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前项）； ⑵若

4、“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； ⑶证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项． 【分析】 关键是读懂题目中“绝对差数列”的含义． 【解析】 ⑴，，，，，，，，，．（答案不唯一）； ⑵在“绝对差数列”中，因为，，所以自第项开始，，，，，，…，即每个相邻的项周期地取值，，，所以当时，的极限不存在，而当时，，所以． ⑶证明 根据定义，数列必在有限项后出现零项．证明如下： 假设中没有零项，由于，所以对任意的，都有，从而当时，，当时，，即的值要么比至少小，要么比至少小；令则 由于是确定的正整数，这样减少下去，必然存在，这与矛盾．

5、 所以必有零项． 若第一次出现的零项为第项，记，则自第项开始，第三个相邻的项周期地取值，，，即，，，． 所以“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项． 五、对称数列 【例5】 （2020·上海）若有穷数列，，（是正整数），满足，，…，，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”． ⑴已知数列是项数为的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项； ⑵已知是项数为的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？ ⑶对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前项和． 【解析】

6、⑴设的公差为，则，解得， 所以数列为． ⑵ ， ， 所以当时，取得最大值． 的最大值为． ⑶所有可能的“对称数列”是： ①； ②； ③； ④． 对于①，当时，． 当时， ． 对于②，当时，． 当时，． 对于③，当时，． 当时，． 对于④，当时，． 当时，． 六、一阶差分数列 【例6】 （2020·青岛质检）对于数列，定义为数列的“一阶差分数列”，其中． ⑴若数列的通项公式，求的通项公式； ⑵若数列的首项是，且， ①证明数列为等差数列； ②求的前项和． 【解析】 ⑴依题意，所以． ⑵①因为，所以，即， 所以，又因为， 所以是以为首项，为公差的等差数列； ②由①得：． 所以． 所以． 错位相减得：． 七、周期数列 【例7】 在数列中，如果存在非零常数，使得对任意正整数均成立，那么就称为“周期数列”，其中叫做数列的周期．已知数列满足，如果，，当数列周期为时，则该数列的前项的和为（ ） A． B． C． D． 【解析】 由题知，，， 所以或， 因为，，所以，即得：，即数列自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，，． 而， 所以，选D．