2020高考数学 专题练习 二十七 坐标系与参数方程(选修4－4) 文

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1、高考专题训练二十七　坐标系与参数方程(选修4－4) 班级_______　姓名_______　时间：45分钟　分值：100分　总得分_______ 一、填空题(每小题6分，共30分) 1．(2020·陕西)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________． 解析：C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1 C2：x2＋y2＝1. 最小值为|C1C2|－2＝5－2＝3. 答案：3 2．(2020·湖北)如图，直角坐标系xOy所在的平面为α，直角坐标系x′Oy′(其中y′与y轴重

2、合)所在平面为β，∠xOx′＝45°. (1)已知平面β内有一点P′(2，2)，则点P′在平面α内的射影P的坐标为________； (2)已知平面β内的曲线C′的方程是(x′－)2＋2y′2－2＝0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是________． 解析：(1)如图P′(2，2) 在α上坐标P(x，y) x＝2cos45°＝2×＝2，y＝2，∴P(2,2)． (2)β内曲线C′的方程＋y′2＝1 同上解法．中心(1,0) 即投影后变成圆(x－1)2＋y2＝1. 答案：(1)P(2,2)　(2)(x－1)2＋y2＝1 3．(2020·深圳卷)已知点P是曲线C：

3、(θ为参数，0≤θ≤π)上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为，则点P坐标为________． 解析：由(0≤θ≤π)可得＋＝1(0≤y≤4)，由于直线OP的方程为y＝x，那么由 ⇒. 答案： 4．(2020·佛山卷)在极坐标系中，和极轴垂直且相交的直线l与圆ρ＝4相交于A、B两点，若|AB|＝4，则直线l的极坐标方程为________． 解析：设极点为O，由该圆的极坐标方程为ρ＝4，知该圆的半径为4，又直线l被该圆截得的弦长|AB|为4，所以∠AOB＝60°，∴极点到直线l的距离为d＝4×cos30°＝2，所以该直线的极坐标方程为ρcosθ＝2. 答案：ρcosθ＝2

4、5．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1的交点的极坐标为________． 分析：本题考查极坐标方程与普通方程的互化． 解析：由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，其普通方程为x2＋y2＝2y，ρcosθ＝－1的普通方程为x＝－1，联立，解得，点(－1,1)的极坐标为. 答案： 二、解答题(每小题7分，共70分) 6．已知曲线C1：(θ为参数)， 曲线C2：(t为参数)． (1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数； (2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′.写出C1′，C

5、2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由． 解：(1)C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心为(0,0)，半径r＝1. C2的普通方程为x－y＋＝0. 因为圆心(0,0)到直线x－y＋＝0的距离为1，所以C2与C1只有一个公共点． (2)压缩后的参数方程分别为 C1′：(θ为参数)， C2′：(t为参数)． 化为普通方程分别为C1′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝x＋， 联立消元得2x2＋2x＋1＝0， 其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0， 所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C

6、2公共点的个数相同． 7．已知直线l：与抛物线y＝x2交于A，B两点，求线段AB的长． 解：把代入y＝x2，得t2＋t－2＝0， ∴t1＋t2＝－，t1t2＝－2.由参数的几何意义，得 |AB|＝＝. 8．(2020·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)． (1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系； (2)设点Q是曲线C上一个动点，求它到直线l的距离的最小值． 解：(1)把极坐标系下的点P化为直角坐标系，得P(0,4)．

7、 因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上． (2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)从而点Q到直线l的距离为： d＝＝ ＝cos＋2， 由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为. 9．已知曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0，求： (1)曲线C的普通方程； (2)设点P(x，y)是曲线C上任意一点，求xy的最大值和最小值． 解：(1)原方程可化为ρ2－4ρ＋6＝0，即ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋6＝0.∵∴x2＋y2－4x－4y＋6＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝2，此方程即为所求

8、普通方程． (2)设＝cosθ，＝sinθ，则xy＝(2＋cosθ)(2＋sinθ)＝4＋2(cosθ＋sinθ)＋2cosθsinθ.设t＝cosθ＋sinθ，则t＝sin，∴t∈[－，]，t2＝1＋2cosθsinθ，从而2cosθsinθ＝t2－1. ∴xy＝3＋2t＋t2.当t＝－时，xy取得最小值1；当t＝时，xy取得最大值9. 10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝.圆O的参数方程为(θ为参数，r>0)． (1)求圆心的极坐标； (2)当r为何值时，圆O上的点到直线l的最大距离为3? 解：(1)圆心坐标为

9、， 设圆心的极坐标为(ρ，θ)， 则ρ＝ ＝1， 所以圆心的极坐标为. (2)直线l的极坐标方程为ρ＝， ∴直线l的普通方程为x＋y－1＝0， ∴圆上的点到直线l的距离 d＝， 即d＝. ∴圆上的点到直线l的最大距离为＝3， ∴r＝. 11．(2020·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学第一次联考)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合，且两个坐标系的单位长度相同，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ. (1)若直线l的斜率为－1，求直线l与曲线C交点的极坐标； (2)若直线l与曲线C的

10、相交弦长为2，求直线l的参数方程． 解：(1)直线l的普通方程为y－1＝－1(x＋1)，即 y＝－x， ① 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0. ② ①代入②得：2x2－4x＝0，解得x＝0或x＝2. ∴A(0,0)，B(2，－2)，极坐标为A(0,0)，B. (2)由题意可得圆心C(2,0)到相交弦的距离为＝1，设直线l的斜率为k，则l的方程为y－1＝k(x＋1)，则y＝kx＋k＋1， ∴＝1，∴k＝0或k＝－. ∴l：(t为参数)或(t为参数)． 12．已知A、B是椭圆＋＝1与x轴、y轴的正半轴的两交点

11、，在第一象限的椭圆弧上求一点P，使四边形OAPB的面积最大． 解：设点P的坐标为(3cosθ，2sinθ)，其中0<θ<， ∵S四边形AOBP＝S△APB＋S△AOB，其中S△AOB为定值，故只需S△APB 最大即可．因为AB为定长，故只需点P到AB的距离最大即可．AB的方程为2x＋3y－6＝0，点P到AB的距离为d＝＝·，∴θ＝时，d取最大值，从而S△APB取最大值，这时点P的坐标为. 13．已知圆C的参数方程为(θ为参数)，P是圆与y轴的交点，若以圆心C为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求过点P的圆的切线的极坐标方程． 解：依题意，圆C：是以(1,0)为圆心，2为半径的圆，

12、与y轴交于(0，±)，如图所示．设R是切线上一点，∵PR为圆C的切线，∴△CPR为直角三角形，∴CR·cos∠RCP＝CP，又∠PCO＝，∴极坐标方程为ρcos＝2；若取圆与y轴负轴交点，则极坐标方程为ρcos＝2. 14．(2020·辽宁)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a>b>0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合． (1)分别说明C1，C1是什么曲线，并求出a与b的值； (2)设当α＝时，l与C1，C2

13、的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积． 解：(1)C1是圆，C2是椭圆． 当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3. 当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b)，因为这两点重合，所以b＝1. (2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1， 当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标为x′＝. 当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此四边形

14、A1A2B2B1为梯形． 故四边形A1A2B2B1的面积为 ＝. 15．(2020·课标)在直线坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程； (2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|. 解：(1)设P(x，y)，则由条件知M，由于M点在C1上，所以 即 从而C2的参数方程为 (α为参数) (2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ. 射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin， 射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.