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1、第三讲 平面向量与复数
一、 向量有关的概念及运算
例1、已知向量与的对应关系用表示。
（1）证明：对于任意向量及常数m，n恒有成立；
（2）设，求向量及的坐标；
（3）求使，（p，q为常数）的向量的坐标
解析：（1）设，则，故
，
∴
（2）由已知得=（1，1），=（0，－1）
（3）设=（x，y），则，
∴y=p，x=2p－q，即=（2P－q，p）。
例2、已知非零向量与满足= 0且，则△ABC为_____________三角形。
解：由= 0，知角A的平分线垂直于BC，故△ABC为等腰三角形，即|AB| = |AC|；由，
∴= 600 . 所以△ABC为
2、等边三角形。
例3、(1)已知, , 与的夹角为1200，求使与的夹角为锐角的实数k的取值范围.
(2) 已知，，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围.
解：(1) == k + (k2 + 1)×1×2×cos1200 + 4k = – k2 + 5k –1 ,
依题意，得 – k2 + 5k –1＞0，∴.
又当与同向时，仍有＞0，此时设，显然、不共线，所以，k =, k ==, 取k ==1.
A
B
C
M
O
N
E
∴且k≠1 .
例4、如图，在△ABC中，点O是BC的
中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同
的两点M、N，若，，则
m +
3、n =______.
解1：取特殊位置. 设M与B重合，N与C
重合，则m=n=1, 所以m+n=2.
解2：=，∵M、O、N三点共线，∴,∴m + n = 2.
解3：过点B作BE∥AC, 则，.
又，∴1– m = n –1, ∴m + n = 2 .
二、向量与三角结合
例5、已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a与b之间有关系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，
（1）用k表示a·b;
（2）求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小。
解 （1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用两边平方，得
|ka+b|
4、2=(|a－kb|)2
k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)
∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)b2
a·b =
∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，
∴a2=1, b2=1,
∴a·b ==
（2）∵k2+1≥2k，即≥=
∴a·b的最小值为，
又∵a·b =| a|·|b |·cos，|a|=|b|=1
∴=1×1×cos。
∴=60°,此时a与b的夹角为60°。
例6、已知向量,且满足,
(1) 求证 ; (2)将与的数量积表示为关于的函数;
(3)求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.
5、
解:(1)
, 故
(2) ,
故.
(3) ,此时当最小值为.
,量与向量的夹角
三、复数
例7、已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.
[解法一] ，∴.
若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.
，
所求的一个一元二次方程可以是.
[解法二] 设
，
得
，
以下解法同[解法一].
例8、设z∈C，求满足z+∈R且|z－2|=2的复数z.
分析：设z=a+bi(a、b∈R)，代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得a、b的两个方程
解法一：设z=a+bi，
则z+=a+bi+=a+bi+
=a++(b－)i∈R
∴b=∴b=0或a2+b2=1
当b=0时，z=a，
∴|a－2|=2 ∴a=0或4
a=0不合题意舍去，∴z=4
当b≠0时，a2+b2=1
又∵|z－2|=2，∴(a－2)2+b2=4
解得a=，b=，∴z=±i
综上，z=4或z=±i
解法二：∵z+∈R，
∴z+ = +
∴(z－)－=0，(z－)·=0
∴z=或|z|=1，下同解法一
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