高三数学一轮复习 第十二章 统计 第75课 变量的相关性与统计案例学案 文

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1、第75课 变量的相关性与统计案例 1. 两个变量的线性相关 (1)正相关:在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关. (2)负相关:在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域, 对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为负相关． (3)相关系数r＝，当r＞0时，两变量正相关，当r＜0时，两变量负相关，当|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越高，当|r|≤1且|r|越接近于0，相关程度越低． (4)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回

2、归直线． 2.回归方程 (1)最小二乘法:求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． (2)回归方程:方程是两个具有线性相关关系的变的一组数据 , , … , )的回归方程,其中是待定参数． , 3．两个分类变量的独立性检验的一般步骤： （1）列出两个分类变量的列联表： （2）假设两个分类变量无关系； （3）计算(其中为样本容量)； （4）把的值与临界值比较，确定有关的程度或无关系． 【例1】对变量有观测数据，得散点图⑴；对变量有观测数据，得散点图⑵． 由这两个散点图可以判断（　　） A．变量与正相

3、关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【变式】为了解某商品销售量（件）与销售价格（元/件）的关系，统计了的10组值，并画成散点图如图，则其回归方程可能是（ ） A． B． C． D． 【例2】(2020新课标II卷)某地区2020年至2020年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表： 年份 2020 2020 2020 2020 2020 2020 2020 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.

4、8 5.2 5.9 （Ⅰ）求关于的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2020年至2020年 该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况， 并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 【解析】(Ⅰ)由所给数据计算得：， ， ， ＝＝， ，， 所求回归方程为. （Ⅱ）由(Ⅰ)由知，，故年至年该地区农村居民家庭人均纯收入逐 年增加，平均每年增加千元. 将年的年份代号代入(Ⅰ)中的回归方程，得， 故预测该地区年农村居民家庭人均纯收入为千元. 【变式】 (2020江门一模）某产品的广

5、告费用与销售额的统计数据如下表： 根据上表数据用最小二乘法求得关于的线性回归方程中，，则据此模型预测，广告费用为万元时，销售额约为 ． 【答案】万元 【解析】∵，， ∴， ∴广告费用为万元时，销售额约为（万元）． 【例3】今年春节黄金周，记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意，得到如下的列联表： 性别与对景区的服务是否满意（单位：名）． （1）从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中满意与不满意的女游客各有多少名？ （2）从（1）中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈，求选到满意与不满意的女

6、游客各一名的概率； （3）根据以上列联表，问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关． 【解析】（1）由题意，样本中满意的女游客为名， 不满意的女游客为名． （2）记样本中对景区的服务满意的3名女游客分别为，对景区的服务不满意的2名女游客分别为． 从5名女游客中随机选取两名，共有10个基本事件，分别为，，，，． 其中事件：选到满意与不满意的女游客各一名包含了6个基本事件，分别为，，， ∴所求概率． （3）假设：该景区游客性别与对景区的服务满意无关，则应该很小． 根据题目中列联表得：． 由可知：有99％的把握认为该景区游客性别与对景区的服务满意有关． 【变式】以

7、下四个命题: ①在一次试卷分析中，从每个试室中抽取第5号考生的成绩进行统计，是简单随机抽样；②样本数据：，，，，的方差为；③对于相关系数，越接近，则线性相关程度越强；④通过随机询问名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽样调查，得到如下列联表： 由可得， ， 附表 则有在犯错误率不超过的条件下认为“选择过马路方式与性别有关”．其中正确的命题序号是 ． 第75课 变量的相关性与统计案例的后作业 1．在回归分析中，残差图中纵坐标为（ ） A．残差 B．样本编号 C． D． 【答案

8、】A 2．(2020韶关一模）已知回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为（ ） A． B．  C．  D． 【答案】C 【解析】依题意可得， ∴ ，∴ ． 3．已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程必过点 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，. 4.对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知题中图(1)与图(

9、3)是正相关，图(2)与图(4)是负相关，且图(1)与图(2)中的样本点集中分布在一条直线附近，则. 5. (2020·江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量 【答案】D 【解析】因为K＝＝，K＝＝，K＝＝，K＝＝，则有K>K>K>K，所以阅读量与性别关联的可能性最大． 6.某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查，数据如下

10、表：该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________． 【答案】 【解析】计算得 的观测值为，则推断犯错误的概率不超过 . 7.某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________ cm. 【答案】 【解析】儿子和父亲的身高可列表如下： 父亲身高 173 170 176 儿子身高 170 176 182 设线性回归方程为，由表中的三组数据可求得，且过中心点，故，故线性回归方程为，

11、将代入得孙子的身高为cm. 8.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入(单位:千元)与月储蓄(单位:千元)的数据资料，算得，，，． （1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程； （2）判断变量与之间是正相关还是负相关，并说明这10个家庭月储蓄对于月收入的变化情况； （3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附:线性回归方程中，，， 其中，为样本平均值． 9. 某中学研究性学习小组，为了研究高中学生的作文水平是否与爱看课外书有关系，在本校高三年级随机调查了50名学生．调查结果表明：在爱看课外书的25人中有18人作文水平好，另外

12、7人作文水平一般；在不爱看课外书的25人中有6人作文水平好，另外19人作文水平一般． (1)试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为高中学生的作文水平与爱看课外书有关系； 爱看课外书 不爱看课外书 总计 作文水平好 作文水平一般 总计 (2)将其中某5名爱看课外书且作文水平好的学生分别编号为1,2,3,4,5，某5名爱看课外书且作文水平一般的学生也分别编号为1,2,3,4,5，从这两组学生中各任选1人进行学习交流，求被选取的2名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率． 参考公式：，其中. 参考数据

13、： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】(1)2×2列联表如下： 爱看课外书 不爱看课外书 总计 作文水平好 18 6 24 作文水平一般 7 19 26 总计 25 25 50 因为 由表知 ， 所以有 的把握认为高中学生的作文水平与爱看课外书有关系． (2)设“被选取的2名学生的编号之和为3的倍数”为事件，“被选取的2名学生的编号之和为4的倍数”为事件. 则基本事件为 1 2 3 4

14、 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 共25个， 因为事件所包含的基本事件为(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，共9个，所以 ；事件所包含的基本事件为(1,3)，(2,2)，(

15、3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，共6个，所以. 因为事件、互斥，所以 ， 即被选取的2名学生的编号之和为3的倍数或4的倍数的概率为. 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 10.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)： 按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆． (1)求z的值； (2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； (

16、3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下： 9.4 ,8.6 ,9.2 ,9.6 ,8.7 ,9.3 ,9.0 ,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 【解析】(1)设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得，所以， 则 . (2)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意得，则. 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A1，A2表示2辆舒适型轿车，用B1，B2，B3表示3辆标准型轿车，用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事

17、件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10个． 事件E包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7个．故P(E)＝，即所求概率为. (3)样本平均数＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 设D表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6个，所以P(D)＝＝，即所求概率为.