2020版高考数学 3年高考2年模拟 第12章 极限

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1、第十五章 极限第一部分 五年高考荟萃2020年高考题 一、选择题 1.（重庆理. 3）已知，则 （A） (B) 2 (C) 3 (D) 6 答案 D 二、填空题 2.（上海文. 2）计算= 答案 3. 在等差数列中，，则__________ 答案 74 三、简答题 4.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）设实数数列的前项和，满足 （Ⅰ）若成等比数列，求和； （Ⅱ）求证：对有 解：（Ⅰ）由题意，因为所以；

2、 由； （Ⅱ）易见，所以 ； 从而时有： 因为，且，所以； 要证，只要证， 即证此式显然成立， 所以时有。 最后证，若不然，，又，故 即，矛盾，所以（）。 2020年高考题 一、选择题: 1.(2020年高考数学湖北卷理科7）如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆， 又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个 圆的面积之和，则 A． B. C. D. 【答案】C 2．（2020年高考四川卷理

3、科2）下列四个图像所表示的函数，在点处连续的是 （A） （B） （C） （D） 解析：由图象及函数连续的性质知，D正确. 答案：D 3．（2020年高考四川卷理科8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 解析：由,且 作差得an＋2＝2an＋1 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 Þ a2＝2a1 故{an}是公比为2的等比数列 Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2

4、n－1)a1 则 答案：B 4．（2020年高考江西卷理科4） A． B． C． D．不存在 【答案】B 5.(2010年高考重庆市理科3)＝ （A） －1 （B） － （C） （D） 1 【答案】B 解析：=. 二、填空题： 1．（2020年高考上海市理科11）将直线、（，）x轴、y轴围成的封闭图形的面积记为，则 。 【答案】1 2． （2020年上海市春季高考14) 答案：。 解析：不妨取，…… 故 故，故答案为1. 三、解答题： 1．(2020年高考全国2卷理数18）（本小题满分12

5、分） 已知数列的前项和． （Ⅰ）求； （Ⅱ）证明：． 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】 【点评】2020年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.

6、 2020年高考题 一、选择题 1、（09重庆理8）已知，其中，则的值为 （ ） A.6 B. C. D. 【解析】 答案 D 2、（09湖北理6）设， 则 （ ） A.-1 B.0 C.1 D. 【解析】令得令时 令时 两式相加得： 两式相减得： 代入极限式可得，故选B 答案 B 二、填空题 3、（09陕西理13）设等差数列的前n项和为,若,则 . 答案 1 第二部分 两年模拟题 2020届高三模拟题 题组

7、一 一、选择题 1．（福建省厦门双十中学2020届高三12月月考题理）函数的零点所在的区间是（ ） （A）（0，1） （B）（1，10） （C）（10，100） （D）（100，+∞） 答案 B. 2. （广西北海二中2020届高三12月月考试题理）已知等比数列中，公比，且 为数列的前项和，则等于 （ ） A6 B C D 答案 B. 3．（黑龙江大庆实验中学2020届高三上学期期中考试理） 设，若函数有大于零的极值点，则（

8、 ） 答案 B. 4．（浙江省杭州市高级中学2020届高三上学期第三次月考理）已知实数成等比数列，且对函数，当时取到极大值，则等于 ( ) A． B．0 C．1 D．2 答案 A. 二、填空题 5．（浙江省杭州二中2020届高三11月月考试题文）若函数在处取极值，则___________． 答案：3. 6．（重庆市重庆八中2020届高三第四次月考理）已知函数，在点处

9、连续，则 答案 . 7．（重庆市南开中学高2020级高三1月月考理） 若= 。 答案 –1. 三、简答题 8．（浙江省温州市啸秋中学2020学年第一学期高三会考模拟试卷）已知函数在处取得极值． (1)求常数k的值； (2)求函数的单调区间与极值； 答案 解：(1)，由于在处取得极值， ∴可求得． ………2分 (2)由(1)可知，， 随的变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 ∴当为增函数，为减函数； ………2分

10、∴极大值为极小值为 ………2分 9．（福建省厦门双十中学2020届高三12月月考题理）（本小题满分14分）已知函数 （1）若函数在区间其中a >0，上存在极值，求实数a的取值范围； （2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围； （3）求证. 答案 9.解：（Ⅰ）因为， x >0，则，…………1分 当时，；当时，. 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减， 所以函数在处取得极大值. …………3分 因为函数在区间（其中）上存在极值， 所以 解得.…………5

11、分 （Ⅱ）不等式即为 记 所以…………7分 令，则， ， 在上单调递增， ，从而， 故在上也单调递增， 所以，所以 . …………9分 （3）由（2）知：恒成立，即， 令，则 所以 , ， ，… … ， …………12分 叠加得： . 则，所以 …………14分 10．（福建省厦门双十中学2020届高三12月月考题理）（本小题满分12分）已知函数，数列满足． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求； （Ⅲ）求证：

12、 答案10 11.（黑龙江大庆实验中学2020届高三上学期期中考试理）（本题12分） 设函数 （Ⅰ）若时函数有三个互不相同的零点，求的范围； （Ⅱ）若函数在内没有极值点，求的范围； （Ⅲ）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 答案 11. 解：（1）当时， 因为有三个互不相同的零点，所以， 即有三个互不相同的实数根。 令，则。 因为在和均为减函数，在为增函数， 的取值范围 -----------------------------------4分 （2）由题可知，方程在上没有实数根， 因为，所以--------------------4分 （3

13、）∵，且， ∴函数的递减区间为，递增区间为和； 当时，又， ∴而 ∴， 又∵在上恒成立， ∴，即，即在恒成立。 ∵的最小值为 ∴---------------------------------4分 12.（黑龙江省哈尔滨市第162中学2020届高三第三次模拟理）（12分）设是函数的一个极值点。 （Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间； （Ⅱ）、设，。若存在使得 成立，求的取值范围。 答案 12.设是函数的一个极值点。 （Ⅰ）、求与的关系式（用表示），并求的单调区间； （Ⅱ）、设，。若存在使得成立，求的取值范围。 点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的

14、应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。 解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x, 由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a， 则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x ＝－[x2＋(a－2)x－3－3a ]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x. 令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，

15、―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当a>－4时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f

16、 (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6， 那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋，（a2＋）e4]， 由于（a2＋）－（a＋6）＝a2－a＋＝（）2≥0，所以只须仅须 （a2＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0

17、B．线段AB和CD C．线段AD和BC D．线段AC和BD 答案 A. 2．（江西省2020届理） 若的最小值为（ ） A．2 B． C． D．3 答案 C. 3. （江西省2020届理）函数 的定义域是 （ ） A B D 答案 D. 4.（江苏省2020届数学理）右图是函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是 （ ） A B

18、 D 答案 B. 5. （广西桂林中学2020届高三理）已知函数连续，则 ( ) Ａ. 　　 Ｂ.　 　 　Ｃ. 　 　Ｄ. 答案 B. 7．(广东省河源市龙川一中2020届高三文） 直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是 A. B. C. D. 答案 A. 8．(河南信阳市2020届高三理）设函数是定义在R上的以5为周期的奇函数，若，则的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 答案 A. 二 填空题 1．（江苏泰兴市重点中学2020届

19、理）若的最大值为m，且f（x）为偶函数，则m+u=________________． 答案 1. 2、（江西省2020届高三文）函数的定义域，值域都是区间[a,b]，则的值为 答案 4. 3、（江西省2020届高三文）下列结论： ①； ②； ③成立的充分不必要条件； ④。 其中正确结论的序号为 答案 ②③ 4．（江西省2020届高三理）函数y＝x2－2x在区间[a，b]上的值域是[－1，3]，则点(a，b)的轨迹是图中的 A．线段AB和线段AD B．线段AB和线段CD C．线段AD和线段BC D．线段AC和线段BD 答案 A. 5.（

20、江西省2020届高三理）若是偶函数，则的递增区间为______________ 答案 （0，1] 。 6.（江苏省2020届高三理）定义在R上的奇函数，当时，，则当时， 答案 。 7.（江苏省2020届高三理）若定义运算 ，则函数的值域是 答案 3. 8.（江苏省2020届高三理）已知，若函数在R上是减函数，则实数的取值范围是 答案 9．(广西桂林中学2020届高三理)若() =9， 则实数= . 答案 10、（江西省上高二中2020届高三文）下列结论： ①； ②； ③成立的充分不

21、必要条件； ④。 其中正确结论的序号为 答案 、②③[ 三 解答题 1．（江苏泰兴市重点中学2020届理）（本小题满分16分） 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。 （I）设（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求的取值范围； （II）若（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。 答案 1．由于则AM＝

22、 故SAMPN＝AN•AM＝ …………4分 （1）由SAMPN > 32 得 > 32 ， 因为x >2，所以，即（3x－8）（x－8）> 0 从而 即AN长的取值范围是…………8分 （2）令y＝，则y′＝ ………… 10分 因为当时，y′< 0，所以函数y＝在上为单调递减函数， 从而当x＝3时y＝取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米， 此时AN＝3米，AM=9米 …………15 2．（江苏泰兴市重点中学2020届理）（本题满分16分） 已知函数，． （1）当时，若上单调递减，求a的取值范围； （2）求满足下列条件

23、的所有整数对：存在，使得的最大值， 的最小值； （3）对满足（II）中的条件的整数对，试构造一个定义在且 上的函数：使，且当时，． 答案2．1）当时，，…………………………………………………1分 若，，则在上单调递减，符合题意；………3分 若，要使在上单调递减， 必须满足 ……………………………………………………………………5分 ∴．综上所述，a的取值范围是 …………………………………6分 （2）若，，则无最大值，………………………7分 故，∴为二次函数， 要使有最大值，必须满足即且，…8分 此时，时，有最大值．……………………………………

24、…分 又取最小值时，，………………………………………………………分 依题意，有，则，…………分 ∵且，∴，得，………………分 此时或． ∴满足条件的整数对是．……………………………12分 （3）当整数对是时， ，是以2为周期的周期函数，………………………分 又当时，,构造如下：当，则， ， 故… 3．（江苏省2020届数学理）函数的定义域为(0，1]（为实数）． ⑴当时，求函数的值域； ⑵若函数在定义域上是减函数，求的取值范围； ⑶求函数在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值． 答案 3、解：（1）显然函数的值域为；

25、（2）若函数在定义域上是减函数，则任取且都有 成立， 即 只要即可，由，故，所以， 故的取值范围是； （3）当时，函数在上单调增，无最小值，当时取得最大值； 由（2）得当时，函数在上单调减，无最大值 当x＝1时取得最小值2－a； 当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值， 当 时取得最小值． 4.（江苏省2020届高三理）已知函数 （1） 当，时，求函数的值域； （2） 若函数在上的最大值为1，求实数的值 答案 4.（本题满分14分） 解（1） 由得，∴函数的定义域是…………（3分） ∵，∴是奇函数 ∴＝0…………………

26、……………………（3分） （若直接代入计算也给分 （2） ∵对恒成立 ∴在上是减函数………………………………（5分） ∴…………………………（3分） 5．（江苏泰兴2020届高三理）（本小题满分16分） 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB的延长线上，N在AD的延长线上，且对角线MN过C点。已知AB=3米，AD=2米。 （I）设（单位：米），要使花坛AMPN的面积大于32平方米，求的取值范围； （II）若（单位：米），则当AM，AN的长度分别是多少时，花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积。 答案 5．由于则

27、AM＝ 故SAMPN＝AN•AM＝ …………4分 （1）由SAMPN > 32 得 > 32 ， 因为x >2，所以，即（3x－8）（x－8）> 0 从而 即AN长的取值范围是…………8分 （2）令y＝，则y′＝ ………… 10分 因为当时，y′< 0，所以函数y＝在上为单调递减函数， 从而当x＝3时y＝取得最大值，即花坛AMPN的面积最大27平方米， 此时AN＝3米，AM=9米 …………15 6．（福建省福州八中2020届高三理）（本小题15分） 已知函数f (x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值. （Ⅰ）

28、求函数f (x)的解析式； 　 （Ⅱ）求证：对于区间[－3，2]上任意两个自变量的值x1，x2，对于任意一个正实数a都有|f (x1)－f (x2)|≤； （Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围. 答案 6. （本小题15分）解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0， 即…………………………………………1分 解得a=1，b=0. ∴f (x)=x3－3x.……………………………………………………3分 （II）∵f(x)=x3

29、－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， 利用导数求得f(x)在区间[－3，2]上的最大值和最小值分别为： fmax(x)=f(－1)=f(2)=2，fmin(x)=f(-3)=－18………………………………4分 ∵对于区间[－3，2]上任意两个自变量的值x1，x2， 都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)| |f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－18)=20………………………………6分 由条件可得，，当且仅当时，等号成立，即恒成立，∴对于任意一个正实数a都有|f (x1)－f (x2)|≤.………8分

30、 （III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)， ∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上. 设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足 因，故切线的斜率为， 整理得. ∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线， ∴关于x0方程=0有三个实根.……………………10分 设g(x0)= ，则g′(x0)=6， 由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1. ∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减. ∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1………………12分 ∴关于x0方程=0有

31、三个实根的充要条件是 ，解得－3

32、考/资*源*网 ∴实数的值－2 …………………………3分 （II）由得或 …………………………4分 ①当时， 由得 由得 ∴函数得单调增区间为 ，单调减区间为 …………6分 ②当时，，同理可得函数得单调增区间为，单调减区间为 ………………………………8分 （II）假设存在满足要求的两点A，B，即在点A、B处的切线都与y轴垂直，则即解得或 ∴A,B 又线段AB与x轴有公共点，∴， …………………………1

33、0分 即 又，解得 所以当时，存在满足要求的点A、B. …………………………13分 题组三 一、选择题： 1.（四川省成都市2020届高三第三次诊断理科）计算的结果是( ) (A) (B)3 (C) (D)2 【答案】B 【解析】因为 所以＝3 2. (四川省绵阳市2020年4月高三三诊理科试题)=（ C ） （A）- （B）-5 （C） （D）0 3. （四川省雅安市2020届高三第三次诊断性考试理科）已知函数在上连续，则( A ) A．2 B．1 C．0 D．1 4．（四川省自贡市2020届高三

34、三诊理科试题）设要使在 内连续，则的值为（ C ） A．6 B． C． D．[ (x≤1) (x＞1) 5．（四川省南充高中2020届高三4月月考理科试题）已知函数 在点x＝1处连续，则f－1(3)＝（ C ） A．13 B．1 C． D． 6.（四川省眉山市2020年4月高三第二次诊断性考试理科）函数在处不连续，且存在，则的值等于（ D ） A． B． C． D． 7．（四川省泸州市2020届高三第二次教学质量诊断性考试理科）的值等于（ C ） A． B． C

35、． D． 二、填空题： M(x,y) ρ θ 0 x y 8. （四川省成都市2020届高三第三次诊断文科）在平面直角坐标系中定义另一种坐标(“∠坐标”)如下：在平面直角坐标系中任意一点M(原点除外)，用ρ表示线段OM的长度，用θ表示以原点O为顶点，以射线Ox为始边，射线OM为终边的角，我们把有序实数对(ρ,θ)称为点M的“∠坐标”. 有下列命题： ①“∠坐标”为(5，)，(5，)的点在平面直角坐标系中不重合； ②若点M的“∠坐标”为(2，)，则点M的平面直角坐标为(1，)； ③一直圆M在平面直角坐标系中的参数方程为(α为参数)，则该圆上的

36、点P的“∠坐标”满足ρ2－4ρcosθ＋3＝0； ④点M的“∠坐标”满足ρ2sinθ＝ρ2cosθ＋(θ∈(0,))，则点M到x轴的最短距离为2。 其中你认为正确的所有命题的序号是___________________. 【答案】①②③ 【解析】根据“∠坐标”的定义，我们可以得到“∠坐标”(ρ,θ)与直角坐标系中普通坐标(x,y)的转换关系为： 或 利用这两个转换公式逐一检验即可知，①②③正确，④错误。 注：本题中的“∠坐标”实质上就是新教材中的“极坐标”。 9．（四川省资阳市2020学年度高三第三次高考模拟理）已知，点表示原点，点（），是向量与向量的夹角， ，设，则____

37、_____． 10．（四川省泸州市2020届高三第二次教学质量诊断性考试理科）在平面上取定一点，从出发引一条射线，再取定一个长度单位及计算角的正方向，合称为一个极坐标系。这样，平面上任一点的位置就可以用线段的长度以及从到的角度来确定，有序数对称为点的极坐标，称为点的极径，称为点的极角。在一个极坐标系下，给出下列命题： ①点的极径为4，极角为；②有序数对与表示两 个不同点； ③点关于极点的对称点为 ④圆心在，半径的圆的极坐标方程为； ⑤过点垂直极轴的直线方程为。其中真命题序号是 . ①③④ 11．(四川省成都市石室中学2020届高三三诊模拟理科)若，则a+b= 3 。