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1、第23课时：第三章 数列——等差数列、等比数列的性质及应用
一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用
二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力．
三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
有关等差、等比数列的结论
1．等差数列的任意连续项的和构成的数列仍为等差数列．
2．等差数列中，若，则
3．等比数列中，若，则
4．等比数列{an}的任意连续项的和构成的数列仍为等比数列．
5．两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．
6．两个等比数列与的积
2、、商、倒数的数列、、仍为等比数列．
（二）主要方法：
1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．
2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前项和公式的内在联系是解题的关键．
（三）例题分析：
例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为,则这个数列有13 项；
（2）已知数列是等比数列,且,,，则 9 ．
（3）等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是 210 ．
例2．若数列成等差数列，且，求．
解
3、：（法一）基本量法（略）；
（法二）设，则
得：，， ∴，
∴．
例3．等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，，求其项数和中间项.
解：设数列的项数为项，
则，
∴，∴，∴数列的项数为，中间项为第项，且．
说明：
（1）在项数为项的等差数列中，；
（2）在项数为项的等差数列中．
例4．数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足
，
（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和．
解：（1）由题意：，∴，
∴数列是首项为3，公差为的等差数列，
∴，∴
由，得，∴数列的前项和的最大值为
（2）由（1）当时，，当时，，
4、
∴当时，
当时，
∴．
例5*．若和分别表示数列和的前项和，对任意自然数，有，，（1）求数列的通项公式；（2）设集合，
．若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式．
解：（1）当时：，
两式相减得：，∴，又也适合上式，
∴数列的通项公式为．
（2）对任意，，∴，∴
∵是中的最大数，∴，设等差数列的公差为，则，
∴，即，又是一个以为公差的等差数列，
∴，∴，∴．
（四）巩固练习：
1．若数列（*）是等差数列，则有数列（*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且（*），则有（*）也是等比数列．
2．设和分别为两个等差数列的前项和，若对任意，都有 ，则第一个数列的第项与第二个数列的第项的比是．
说明：．
（全国通用）2020年高三数学 第23课时 第三章 数列 等差数列、等比数列的性质及应用专题复习教案
