（福建专用）2020年高考数学总复习 第五章第3课时 等比数列及其前n项和课时闯关（含解析）

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1、 （福建专用）2020年高考数学总复习 第五章第3课时 等比数列及其前n项和课时闯关（含解析） 一、选择题 1．(2020·厦门质检)已知等比数列{an}的公比q＝2，其前4项和S4＝60，则a2等于(　　) A．8 B．6 C．－8 D．－6 解析：选A.法一：由S4＝60＝＋a2＋a2q＋a2q2，又q＝2，则a2＝8. 法二：S4＝60＝，所以a1＝4，则a2＝8. 2．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a7＝4a，a2＝2，则a1＝(　　) A．1 B. C．2 D. 解析：选A.由a3·a7＝a4·a6＝4a，所以＝q2＝4.

2、又等比数列{an}的公比为正数，所以q＝2，则a1＝1. 3．若数列{an}满足an＝qn(q>0，n∈N*)，则以下命题正确的是(　　) ①{a2n}是等比数列；②{}是等比数列；③{lgan}是等差数列；④{lga}是等差数列． A．①③ B．③④ C．①②③④ D．②③④ 解析：选C.∵an＝qn(q>0，n∈N*)，∴{an}是等比数列，因此{a2n}，{}是等比数列，{lgan}，{lga}是等差数列． 4．(2020·古田调研)在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k等于(　　) A．0 B．1 C．－1

3、 D．2 解析：选C.∵an＋1＝can，∴{an}是等比数列，Sn＝3n＋k，所以q≠1，Sn＝Aqn＋B，其中A＋B＝0，故q＝3，k＝－1. 5．设{an}，{bn}均为正项等比数列，将它们的前n项之积分别记为An，Bn，若＝2n2－n，则的值为(　　) A．32 B．64 C．256 D．512 解析：选C.9＝＝29×8，所以＝28. 二、选择题 6．已知数列{an}是首项为a1的等比数列，则能保证4a1，a5，－2a3成等差数列的公比q等于________． 解析：∵4a1，a5，－2a3成等差数列， ∴2a5＝4a1＋(－2a3). 设数列{an}的

4、公比为q，则a5＝a1q4，a3＝a1q2， ∴2a1q4＝4a1－2a1q2.∵a1≠0，∴q4＋q2－2＝0， ∴q2＝1或q2＝－2(舍去)，∴q＝1或q＝－1. 答案：±1 7．在正项数列{an}中，a1＝2，点(，)(n≥2)在直线x－y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 解析：n≥2时，∵－＝0，∴an＝2an－1， ∴正项数列{an}是q＝2的等比数列． ∴Sn＝＝2n＋1－2. 答案：2n＋1－2 8．在等比数列{an}中，存在正整数m，有am＝3，am＋5＝24，则am＋15＝________. 解析：q5＝＝8，am＋15＝am·q

5、15＝3×83＝1536. 答案：1536 三、解答题 9．设数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公比为q(q＞1)， 由已知，得， 即， 也即，解得， 故数列{an}的通项为an＝2n－1. (2)由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2， 又bn＋1－bn＝3ln2， ∴{bn}是以b1＝3ln2为首项，以

6、3ln2为公差的等差数列， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝， 即Tn＝ln2. 10．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N*. (1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)证明：b1＝a2－a1＝1. 当n≥2时，bn＝an＋1－an＝－an ＝－(an－an－1)＝－bn－1， ∴{bn}是以1为首项，－为公比的等比数列． (2)由(1)知bn＝an＋1－an＝(－)n－1， 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋1＋(－)＋…＋(－)n－2

7、 ＝1＋＝1＋[1－(－)n－1] ＝－(－)n－1； 当n＝1时，－(－)1－1＝1＝a1， ∴an＝－(－)n－1(n∈N*)． 一、选择题 1．(2020·高考安徽卷)设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(　　) A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X) 解析：选D.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是等比数列，即(Y－X)2＝X(Z－Y)，所以Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，所以Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．

8、2．已知数列{an}共有m项，定义{an}的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2)，第三项及以后所有项和为S(3)，…，第n项及以后所有项和为S(n)．若S(n)是首项为2，公比为的等比数列的前n项和，则当n＜m时，an等于(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：选C.∵n＜m，∴m≥n＋1. 又S(n)＝＝4－， ∴S(n＋1)＝4－， 故an＝S(n)－S(n＋1)＝－＝－. 二、填空题 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4且a2020＝3S2011＋2020，a2020＝3S2020＋2020.把数列{an}的各项同排成如图的三角形：

9、记A(s，t)表示第s行的第t个数，则A(11,12)等于________． a1 a2　a3　a4 a5　a6　a7　a8　a9 …… 解析：a2020－a2020＝(3S2020＋2020)－(3S2020＋2020)＝3a2020，所以q＝4，an＝4n，前10行共有100个数，A(11,12)是第112个数，即4112. 答案：4112 4．(2020·高考江苏卷)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________． 解析：由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4

10、＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3. 故q≥，即q的最小值为. 答案： 三、解答题 5．(2020·高考安徽卷)在数1和100之间插入n个实数，使得这(n＋2)个数构成递增的等比数列，将这(n＋2)个数的乘积记作Tn，再令an＝lgTn，n≥1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝tanan·tanan＋1求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设t1，t2，…，tn＋2构成等比数列，其中t1＝1，tn＋2＝100，则 Tn＝t1·t2·…·tn＋2，① Tn＝tn＋1·tn＋2·…·t2·t1，② ①×②并利用titn＋3－i＝

11、t1tn＋2＝102(1≤i≤n＋2)，得 T＝(t1tn＋2)·(t2tn＋1)·…·(tn＋1t2)·(tn＋2t1)＝102(n＋2)， ∴an＝lgTn＝n＋2，n≥1. (2)由题意和(1)中计算结果，知bn＝tan(n＋2)·tan(n＋3)，n≥1. 另一方面，利用 tan1＝tan[(k＋1)－k] ＝， 得tan(k＋1)·tank＝－1. 所以Sn＝bk＝an(k＋1)·tank ＝ ＝－n. 6．已知数列{bn}满足bn＋1＝bn＋，且b1＝，Tn为{bn}的前n项和． (1)求证：数列是等比数列，并求{bn}的通项公式； (2)如果对任意n∈N*，不等式≥2n－7恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)证明：对任意n∈N*，都有bn＋1＝bn＋，所以bn＋1－＝ . 则成等比数列，首项为b1－＝3，公比为. 所以bn－＝3×n－1，bn＝3×n－1＋. (2)因为bn＝3×n－1＋， 所以Tn＝3＋＝＋＝6＋. 因为不等式≥2n－7，化简得k≥对任意n∈N*恒成立． 设cn＝，则cn＋1－cn＝－＝. 当n≥5，cn＋1≤cn，{cn}为单调递减数列； 当1≤n＜5，cn＋1＞cn，{cn}为单调递增数列． ＝c4＜c5＝，所以，n＝5时，cn取得最大值. 所以，要使k≥对任意n∈N*恒成立，k≥.