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1、2019-2020年九年级数学竞赛辅导讲座第二十七讲动态几何问题
透视
春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来．
动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是：
1．动中觅静这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．
2．动静互化“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静
2、”的关系．
3．以动制动以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．注：几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面看来不同的定理统一起来，可以找到探求几何中的最值、定值等问题的方法；更一般情况是，对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状况等，这就是常说的“动态思维”．
【例题求解】
【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到A〃B〃C〃的位置，设BC=1,AC=,则顶点A运动到点A〃的位置时，点A经过的路线与直线所
3、围成的面积是
思路点拨解题的关键是将转动的图形准确分割.RtAABC的两次转动，顶点A所经过的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为120°和90°，半径分别为2和，但该路线与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和.
【例2】如图，在00中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA'丄AB,BB‘丄AB，且AA'=AP,BB'=BP,连结A'B'，当点P从点A移到点B时，A'B‘的中点的位置（）
A.在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动
C.在AmB上移动D.保持固定不移动
思路点拨画图、操作、实验，从中发现规律．
【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，ZA0
4、C=60。，动点P从0出发，以每秒1厘米的速度沿O-A-B路线运动，点P出发2秒后，动点Q从0出发，在0A上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿O-A-B路线运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线.设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘米，请你回答下列问题：
(1) 当=3时，的值是多少?
(2) 就下列各种情形：
①0WW2:②2WW4；③4WW6；④6WW8.求与之间的函数关系式.
(3) 在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系．
思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的
5、观点，将各段分别讨论、画图、计算．
①②
注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种重要的解题策略．
建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值
或自变量的值．
【例4】如图，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F,分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1m/秒的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm/秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2(秒).
(1) 当为何值时，线段EF与BC
6、平行？
(2) 设1<<2，当为何值时，EF与半圆相切？
(3) 当1W〈2时，设EF与AC相交于点P,问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP：PC的值.
思路点拨动中取静，根据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于的方程；对于(3)，点P的位置是否发生变化，只需看是否为一定值.
注：动态几何问题常通过观察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或变化规律，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想.
【例5】OO与0
7、0相交于A、B两点；如图(1),连结00并延长交00于P点，连结PA、
12211
PB并分别延长交O0于C、D两点，连结C0并延长交O0于E点.已知O0的半径为R，
2222
设ZCAD=.
(1) 求：CD的长(用含R、的式子表示)；
(2) 试判断CD与P0］的位置关系，并说明理由；
(3) 设点P'为O0上(O0外)的动点，连结P'A、P'B并分别延长交O0于C'、D，,
122
请你探究ZC'AD'是否等于？C'D'与P'O］的位置关系如何?并说明理由.
思路点拨对于⑴、(2)，作出圆中常见辅助线；对于(3)，P点虽为001上的一个动点，但
l
O0］、O02
8、—些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来.
(1)⑵⑶
学力训练
1. 如图，△ABC中，ZC=90°,AB=12cm,ZABC=60°,将AABC以点B为中心顺时针旋转,
使点C旋转到AB延长线上的D处，则AC边扫过的图形的面积cm(n=3.14159…,
最后结果保留三个有效数字).
2. 如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=cm,将AABC绕点B旋转至AA'BC'的位置，且使A、B、C'三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是—cm.
3. —块等边三角形的木板，边长为1,现将木板沿水平线翻滚，那么B
9、点从开始至结束走过的路径长度为()
A．B．C．4D．
4. 把AABC沿AB边平移到AA'B'C'的位置，它们的重叠部分的面积是AABC的面积的一半,若AB=,则此三角形移动的距离人人'是()
A．B．C．1D．
5. 如图，正三角形ABC的边长为6厘米，00的半径为r厘米，当圆心0从点A出发，沿着线路AB—BC—CA运动，回到点A时，0O随着点O的运动而移动.
(1) 若r=厘米，求。0首次与BC边相切时AO的长；
(2) 在0移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的情况?写出不同的情况下，r的取值范围及相应的切点个数；
(3) 设O在整个移动过程中，在AABC内
10、部，0O未经过的部分的面积为S,在S>0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围.
6. 已知：如图，0O韵直径为10,弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA,过点C作CD丄AB于D.设CB的长为，CD的长为.
(1) 求关于的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求的值；
(2) 在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与0O有几种位置关系，并求出不同位置时的取值范围；
(3) 在点B运动的过程中，如果过B作BE丄AC于E,那么以BE为直径的圆与0O能内切吗?
若不能，说明理由；若能，求出BE的长.
7. 如图，已知A为ZP
11、OQ的边OQ上一点，以A为顶点的ZMAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且ZMAN=ZPOQ=(为锐角).当ZMAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置开始，按逆时针方向旋转(ZMAN保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动.设OM=，ON=(〉三0),AAOM的面积为S,若cos、OA是方程的两个根.
⑴当ZMAN旋转30°(即ZOAM=30°)时，求点N移动的距离；
(2) 求证：AN2=ON・MN；
(3) 求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(4) 试写出S随变化的函数关系式，并确定S的取值范围.
8. 已知：如图，梯形ABCD中，A
12、D〃BC,AB=CD=3cm,ZC=60°,BD丄CD.
⑴求BC、AD的长度；
(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/s的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；
(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
9. 已知：如图①，E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整数)的关系，分别在两邻边
13、长、的矩形ABCD各边上运动.
设AE=，四边形EFGH的面积为S.
⑴当n=l、2时，如图②、③，观察运动情况，写出四边形3FGH各顶点运动到何位置,使?
(2) 当n=3时，如图④，求S与之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)，探索S随增大而变化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置，使；
(3) 当n=k(k三1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由.
10. 如图1,在直角坐标系中，点E从0点出发，以1个单位/秒的速度沿轴正方向运动，点F从0点出发，以2个单位/秒的速度沿轴正方向运动，B(4,2)，以BE为直径作001.
(1) 若点E、F同时出发，设线
14、段EF与线段0B交于点G，试判断点G与00』勺位置关系，并证明你的结论；
(2) 在(1)的条件下，连结FB,几秒时FB与001相切？
(3) 如图2,若E点提前2秒出发，点F再出发,，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA丄轴于A点，连结AF交001于点P,试问PA・FA的值是否会发生变化?若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．
参考答案
AE_2-tCF4—2t
勿动态几何问廳透視
【例题求解】
例2选D
例3(1)当x=3时,y=3X3-l=8；
(2)①当时,y=3OP，即
15、$=3小②当2Cx<4时,5'=3OP-CX?=3j—(j-2)=2x+2?③当时，
y=2(OA+AP)—OQ+PB=Zz—5—2》+(8—±)=10；④当6^x<8时，AQ=2[(z-2)—4]=2工一12,y=3(AB一AQ)—PB=3[4-(2h-12)]-(8-z)=-5h+4O；(3)略.
例4⑴设E.F出发后运动了r秒时,EF//BC,如图(G,则BE=t.CF=4—2"由t=4~2t,得/=■即当■秒时，
43
EF//RC.
(2}设E、F出发后运动了『秒时,EF与半®[相切,Vl<«2f/.E、F分别在BA、CD上，如图(b),过点F作FG丄
于G,则FG=BC
16、=2,BE=t.CF=4-2r,EG=t-(4-2f)=3f-4,EF=BE+CF=4-r,又EF2=EG2+FGl,即(4一"=(3/—4严+22,解得「=沢尹,故当<=苇吃秒时，EF与半圆相切.
⑶设E、F出发后运动了r秒时，因1£<2,所以EF的位置如图(c),则AE=2-t,CF=4—2t,由AB〃DC,有需=
，即点P的位置与Z的取值无关，即P点的位置不会发生变化.
(1〉连结DE,CD~CE•sin«=2R•sin^；
^MPA=^ABP=ZACD,MN#CD,丈:MN丄PO」，
CD
(2) 连结AB,HP作©Oi的切线MN,7
丄PO;
(3) 在图
17、(2)中.ZC^DJZAP'D'+ZP'D'A,在图(1)中，^CAD=^APD+ZPDA,
而ZAP'D'与ZAPD所对的都是©Oi中的筋,ZP'D'A与ZPDA所对的都是①O?中的Ah,QO^QO2中的爲都是定弧，几ZC'AD'=ZCAD=a.连结AB.HP'作OO：的切线“N',同理可证^M,P,A=^P'BA=^AC'Dr.
MN'/UD',又TMN'丄P'O,:.CD1丄P'O-
【学力训縑】
K
1.1132.y733.B4*A
C
5. (1)AO-(6V3-2)4(2)由正三角形的边长为6V3cm,可得它一边上的高为9cm.
① 当©O的半径r=9cm时，©O在
18、移动中与厶人月。的边共相切三次，即切点个数为3；
② 当0VY9时，©O在移动中与AABC的边共相切六次，即切点个数为6；
③ 当r>9时，00在移动中与AABC的边不相切，即切点个数为0.
(3)如图，$>0时20在移动中，在△ABC内部未经过的部分为正三角形A'B'C'的内部，Sgc=
y-B'C'-A,E=3V3(3-r)2./.所求解析式为S=3歯(3—"(0Vr<3).
6, =当以CB为直径的圆与AC相切时，点B与点M重合，此时z=6,y=4.8:
(2)以DC为直径的圆①厅与©O的位置关系是相交或内切.
4
①当CB=CA=8时，两圆内切»>=—XS=6.4)
19、②当CBH8时，两圆相交,0»(4)0CS<73.
8. (l)AD-AB=3cmf(2)Ssa»AflRM>='^(2?-6/+27)(O0,•••二次函数图象的抛物线开口向上，
规律t在对称轴x=y左侧，S随工增大而减小；在对称轴工=号右侧，5随乂增大而增大.
20、
1
猜想t四边形EFGH各顶点仍燃运动到矩形ABCD各对应边中点，使S=ySe^fl(of
⑶当n-=k时，上述规律和猜想是成立的.同理可求得8=2用一2肋卄好=2心一号卩+号込
5・
10. (1)点G在0O1上1(2〉当1=-^-秒时，必有BF与©0】相切；
(3)AP・AF的值不会发生变化，连结PB,在y轴上截取FM=OA=4.设OE=r(2
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