函数的基础概念第五讲 新课标 人教版

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1、函数的基础概念第五讲 函数不仅是高中数学的核心内容，还是学习高等数学的基础，所以在高考中，函数知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样，而且突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。 考试内容：映射。函数。函数的单调性、奇偶性。反函数。互为反函数的函数图像间的关系。指数概念的扩充。有理指数幂的运算性质。指数函数。对数。对数的运算性质。对数函数。函数的应用。 考试要求：了解映射的概念，理解函数的概念 基本函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数与对数函数

2、，它们的图象与性质是函数的基石。求反函数，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查（如全国2020年第2题），也有综合考查（如江苏2020年第22题）。函数的图象、图象的变换是高考热点（如全国2020年Ⅳ，北京2020年春季理2），应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势。 特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活

3、运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现. 近三年高考解答题考查函数情况： 2020年，在15套试卷中，涉及函数最值的试题有8题，参数的取值范围的试题有6道，不等式证明的试题有3道，函数与不等式应用性问题3道，可以应用导数知识解答的至少有12道。 2020年，函数与不等式解答试题是高考的热门话题，也是解答题的必考题型。当中全国Ⅱ、北京、天津各命制了2道。函数与不等式试题处在压轴位置的有7道，与导数知识交汇的试题有12道。当中，求函数的最值和值域的试题有9道，涉及函数单调性的有7道，求参数取值范围的有5道。 2020年高考试题里，出现函数种

4、类比较多的有三次函数、分式函数、对数和指数复合的函数、绝对值函数、抽象函数等等。 由此可知，函数与不等式解答试题是高考命题的重要题型，它的解答需要用到导数的相关知识。其命题热点是伴随导数知识的考查，出现频率较高的题型是最值、范围问题，命题 的趋向是函数迭代中的递推数列问题。 函数的易错点： 1、求解函数值域或单调区间易忽略定义域优先的原则。求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。判断函数奇偶性时，易忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。 2、不能正确理解形如的函数与原函数的关系。忽视原函数与反函数的单调性与奇偶性的关系，从而导致解题过程繁琐。 3、证明或判

5、断函数的单调性质要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。在涉及对数型函数的有关问题时，易忽略限制条件且。 复习本章要注意： 1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化。 2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等。 3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题。 4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏。 5.利

6、用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视。 函数是高中数学的核心内容，又是学习高等数学的基础，因而历来是高考的重点，其中直接考查函数的知识的试题在20%左右。 知识梳理 1.函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作，x∈A，其中x叫做自变量.x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。 2.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从

7、定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。 3.映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B. 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集。 【试题举例】 例1、设，函数的定义域为M，值域为N，则的图象可以是 【考点分析】本题考查函数的

8、图象表示方法、函数的概念，基础题。 解析：A项定义域为［－2，0］，D项值域不是［0，2］，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B。 答案：B 例2、（2000全国理，1）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，象20的原象是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【考点分析】本题考查映射的定义，基础题。 解析：∵，分别将选择支代入检验，知当n＝4时成立。 反思：本题如采用直接法，解方程相当困难，在检验时由于为偶数，故只需检验A、C，这也检验的

9、技巧。 例3、（2020年高考江苏卷）设函数，区间M=[a，b](a

10、1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 【考点分析】本题考查分段函数的意义，是分段函数，故应分段求解。 解析：问题转化为①或②② 由①得或；由②得。 综上所述，或。答案：A 分段函数是高考考查函数的一种重要方式， 分段函数的概念。分段函数中高中数学比较重要的函数，在高考中几乎各省市的试题都会涉及到，它不但考查了分类讨论的思想，而且通过一题考查多个知识点，应加以掌握。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。 在求分段函数的值时，一定首先要判断属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域

11、内不同子集上各关系式的取值范围的并集。 例5（设函数，则使得的自变量的取值范围是__________（答：）； （2）已知，则不等式的解集是________（答：） 例6（（06辽宁卷）设则__________ 【解析】. 【点评】本题考察了分段函数的表达式、指数与对数的运算。 例7（（06山东卷）设 (A)0 　(B)1 (C)2 (D)3 解：f（f（2））＝f（1）＝2，选C