数列中的存在性问题-经典(教师)

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1、专题：数列中的存在性问题 一、 单存在性变量 解题思路：该类问题往往和恒成立问题伴随出现（否则就是一个方程有解问题，即零点问题），可以先假设存在，列出一个等式，通过化简，整理成关于任意性变量（一般为n）的方程，然后n的系数为0，构造方程，进而解出存在性变量，最后检验。 例1、已知数列{}的前项和为=，在数列{}中，=8，=0，问是否存在常数使得对任意，恒为常数，若存在求出常数和,若不存在说明理由. 解析：假设存在常数使得对任意，恒为常数， ∵=， ∴当=1时，则==8， 当≥2时，===， 当=1适合， ∴=， 又∵=0， ∴=， ∴数列{}是首项为8，公比为的

2、等比数列， ∴==， 则===， 又∵对任意，恒为常数， ∴=0，解得=2， ∴==11， ∴存在常数=2使得对任意，恒为常数=11. 二、双存在型变量 解题思路：先假设存在，根据题目条件，列出一个含有两个变量（一般至少都为正整数）的等式，即转化为一个数论中的双整数问题，然后分离变量。如果可以分离常数，则利用数论中约数的知识列出所有可能情况，最后进行双检验，即对两个变量均进行条件检验；如果不可以分离常数，则利用分离出的变量所具有的隐含范围（如大于0）消元，进而构造一个不等式，解出另一个变量的范围，再列出求出的被压缩的范围里的所有整数值，分别求出对应的另一个存在性变量

3、，最后进行检验。 例2、【2010南通一模】 设等差数列的前项和为且． （1）求数列的通项公式及前项和公式； （2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）设等差数列的公差为d. 由已知得 ………………2分 即解得……………………………………………………………4分. 故.…………………………………………………………………6分 （2） 由（1）知.要使成等差数列，必须，即，………………………………………………………………8分. （3） 整理得，…………………………………………………………… 1

4、1分 因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5. 当时，；当时，；当时，. 故存在正整数t，使得成等差数列. ……………………………… 15分 例3、设数列的前项和，数列满足. （Ⅰ）若成等比数列，试求的值； （Ⅱ）是否存在，使得数列中存在某项满足成等差数列？若存在，请指出符合题意的的个数；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）因为，所以当时，……………………3分 又当时，，适合上式，所以（）…………………4分 所以，则，由， 得，解得（舍）或，所以………………7分 （Ⅱ）假设存在，使得成等差数列，即，则 ，化简得…………………………………12分 所以

5、当时，分别存在适合题意， 即存在这样，且符合题意的共有9个 ………………………………………14分 例4、【2010徐州三模】 已知数列是各项均不为0的等差数列，为其前项和，且满足，令，数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式及数列的前n项和为； （2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）因为是等差数列，由， 又因为，所以，………………………………………………………2分 由 所以．……………………………6分 (2)由(1)知，， 所以， 若成等比数列，则，即．……8分 解法一：由，可得， 所以，

6、 ……………………………………………………………12分 从而：，又，且，所以，此时． 故可知：当且仅当， 使数列中的成等比数列。…………16分 解法二：因为，故，即，………12分 从而：，（以下同上）． 三、 三个存在型变量------连续的 解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在连续的三项，恰好成等差数列（或等比数列）”。可以先假设存在，然后构造一个关于单存在性变量的方程，即转化为一个方程有正整数根的问题，我们可以按照处理零点问题的方法（“解方程”或者“画图像”）求解。 例5、【扬州2010一模】 已知数列，. ⑴求证：数列为等比数列； ⑵数列中，是否存在连续

7、的三项，这三项构成等比数列？试说明理由； ⑶设，其中为常数，且， ，求A∩B. 解：⑴∵=，∴， ∵∴为常数 ∴数列为等比数列------------------------------------------------------------4分 ⑵取数列的连续三项， ∵， ，∴，即， ∴数列中不存在连续三项构成等比数列； ------------------------------------------9分 ⑶当时，，此时； 当时，为偶数；而为奇数，此时； 当时，，此时；---------------------------------------------

8、-12分 当时，，发现符合要求， 下面证明唯一性（即只有符合要求）。 由得， 设，则是上的减函数， ∴ 的解只有一个 从而当且仅当时，即，此时； 当时，，发现符合要求， 下面同理可证明唯一性（即只有符合要求）。 从而当且仅当时，即，此时； 综上，当，或时，； 当时，， 当时，。 ------------------------------16分 四、 三个存在型变量------不同的 解题思路：这类问题的形式一般是，“是否存在不同的三项……，恰好成等差数列（或等比数列）”，不难看出，三个存在型变量均出现在下标，这就等于给定了两个隐

9、含条件，其一，三个变量均为正整数，其二，三个变量互不相等。另外，一旦我们主动去分析数列的单调性，那么我们就可以不妨设出这三个变量的一个大小顺序。 具体的，该类问题可以分成三类。 其一，等差中找等比（无理有理找矛盾） 例6、【扬州2010三模】 已知数列满足：（为常数）， 数列中，。 ⑴求； ⑵证明：数列为等差数列； ⑶求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数。 解：⑴由已知，得， ，。 ……… ……………………4分 ⑵， ∴，又， ∴数列是首项为，公差为的等差数列。……………………………………9分 ⑶证明：

10、由⑵知， ……………………………………………10分 若三个不同的项成等比数列，、、为非负整数，且，则，得， ……………………………12分 若，则，得==，这与矛盾。 …………14分 若，则， ∵、、为非负整数， ∴是有理数。………………………………………………………………16分 例7、等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn； (2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)解：由已知得 ∴d＝2， 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (

11、2)证明：由(1)得bn＝＝n＋. 假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， ∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴ ∴2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r.这与p≠r相矛盾． 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 其二，等比中找等差（化简成整式，通过等式两边同除公比的最小次方，进而等式两边，一边为公比的倍数，另一边不是公比的倍数，矛盾）； 例8、【无锡市2010年秋学期高三期末考试】 由部分自然数构成如图的数表，用表示第行第个数（），使，每行中的

12、其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数的之和。设第行中各数之和为。 （1）求； （2）用表示； （3）试问：数列中是否存在不同的三项，，（）恰好成等差数列？若存在，求出，，的关系；若不存在，请说明理由。 （1）……………………………………………………………………2分 （2） =；……………………………………………………………………6分 （3）∵，∴……………………………8分 所以是以为首项，2为公比的等比数列，………………9分 则…………………………………………11分 若数列中存在不同的三项恰好成等差数列， 不妨设

13、，显然是递增数列，则…………………12分 即2，化简得： ………………………………（*）…………………………14分 由于，且，知≥1，≥2， 所以（*）式左边为偶数，右边为奇数， 故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列。………………………………………………………………………………………16分 例9、【2010届江苏省海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学】 已知数列{an}的通项公式为an = (nÎN*). ⑴求数列{an}的最大项； ⑵设bn = ，试确定实常数p，使得{bn}为等比数列； ⑶设，问：数列{an}中是否存在三项，，，使数列，，是等差

14、数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由. 解 ⑴由题意an = 2 + ,随着n的增大而减小,所以{an}中的最大项为a1 = 4.…4分 ⑵bn = = = ，若{bn}为等比数列， 则b – bnbn+2= 0(nÎN* )所以 [(2 + p)3n+1 + ( 2 – p)]2 – [{2 + p)3n + (2 – p)][(2 + p)3n+2 + (2 – p)] = 0(nÎN*)， 化简得(4 – p2)(2·3n+1 – 3n+2 – 3n ) = 0即– (4 – p2)·3n·4 = 0,解得p = ±2. ………………………7分 反之,当p =

15、2时,bn = 3n,{bn}是等比数列;当p = – 2时,bn = 1,{bn}也是等比数列.所以,当且仅当p = ±2时{bn}为等比数列. ……………………………………………………………………………………10分 ⑶因为，，，若存在三项，，，使数列，，是等差数列，则，所以=，…………12分 化简得（*）， 因为， 所以，， 所以，，（*） 左边， 右边，所以（*）式不可能成立， 故数列{an}中不存在三项，，，使数列，，是等差数列. ……………16分 例10、【无锡市2011一模】 已知数列的首项，． （1）求证：数列为等比数列； （2） 记，若，求最大的正整

16、数． （3）是否存在互不相等的正整数，使成等差数列，且成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 解：（1）∵，∴，………………………2分 且∵，∴， ……………………………3分 ∴数列为等比数列．…………………………………4分 （2）由（1）可求得，∴．…………… 5分 ，…7分 若，则，∴．………………………………9分 （3）假设存在，则， ……………………10分 ∵，∴．……………………12分 化简得：，………………………………………………………13分 ∵，当且仅当时等号成立．…………………15分 又互不相等，∴不存在．………………

17、………………………………16分 其三，我们知道，既成等差又成等比的数列一定是非零的常数数列，利用这个性质，一旦我们通过分析或者化简得到三个存在性变量（或者他们经过相同变换得到的三个数）既成等差又成等比，那么即可说明三者相等，而题干说了“互不相等”，从而找出矛盾，说明不存在。 例11、【2012上海一联】 设等比数列的前项和为，已知 (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列(如：在与之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为；在与之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为，…以此类推)，设第个等差数列的和是. 是否存在一个关于的多项式，使得对任

18、意恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由； (3)对于(2)中的数列，这个数列中是否存在不同的三项(其中正整数成等差数列)成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由. 解：(1)设，由知，，………2分 解得， ∴…………………………………………………………4分 (2)依题意，； 要使，则，…………………………………8分 ∴，即存在满足条件；………10分 (3)对于(2)中的数列，若存在不同的三项(其中正整数成等差数列)成等比数列，则，即 ∵， ∴，即………………………………………14分 由①②可得，与是不同的三项矛盾， ∴不存在不同的三项(其中正整数成等差数列)成等比数列. …16分