2018-2019学年高中数学 第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法练习 新人教A版选修4-5

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1、一 数学归纳法 ,　　　　　　　　[学生用书P56]) [A　基础达标] 1．数学归纳法证明中，在验证了n＝1时命题正确，假定n＝k时命题正确，此时k的取值范围是(　　) A．k∈N　　 B．k>1，k∈N＋ C．k≥1，k∈N＋ D．k>2，k∈N＋ 解析：选C.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1. 2．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f(n)等于(　　) A． B．＋ C．＋ D．＋＋ 解析：选D.因为f(n)＝1＋＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，

2、 所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋. 3．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应该写成(　　) A．假设当n＝k(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除 B．假设当n＝2k(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除 C．假设当n＝2k＋1(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除 D．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时，xn＋yn能被x＋y整除 答案：D 4．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k＋1，等式左边需要增乘的代数式是(　　) A．2k＋1 B．

3、 C．2(2k＋1) D． 解析：选C.当n＝k时，等式左边为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)； 当n＝k＋1时，等式左边为 (k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·， 即增乘了＝2(2k＋1)． 5．在用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n(n∈N*)的第(ii)步中，假设n＝k时原等式成立，那么在n＝k＋1时需要证明的等式为(　　) A．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1) B．1＋2＋3＋…＋2k＋2(k＋1)＝2(k

4、＋1)2＋(k＋1) C．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1) D．1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1) 解析：选D.因为用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋2n＝2n2＋n时， 当n＝1时左边所得的项是1＋2； 假设n＝k时，命题成立，1＋2＋3＋…＋2k＝2k2＋k， 则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)， 所以1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2(k＋1)＝2(k＋1)2＋(k＋1)．故选D. 6．用数学归纳法证明时，设f(k)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋

5、1)＝k(k＋1)2，则f(k＋1)＝________． 解析：f(k＋1)＝1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋ (k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2. 答案：(k＋1)(k＋2)2 7．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的过程中，第二步假设n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到________． 解析：因为n＝k时，命题为“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， 所以n＝k＋1时，为使用归纳假设， 应写成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1. 答案：1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 8．已知平面上有n

6、(n∈N＋，n≥3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)＝________，f(4)＝________，f(5)＝________，f(n＋1)＝f(n)＋________． 解析：当n＝k时，有f(k)条直线．当n＝k＋1时，增加的第k＋1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k＋1)＝f(k)＋k. 又f(2)＝1， 所以f(3)＝3，f(4)＝6，f(5)＝10，f(n＋1)＝f(n)＋n. 答案：3　6　10　n 9．用数学归纳法证明：1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝(n∈N＋)．

7、证明：(1)当n＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边＝＝6，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时等式成立，即 1×2×3＋2×3×4＋…＋k(k＋1)(k＋2) ＝， 那么当n＝k＋1时，1×2×3＋2×3×4＋…＋k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝＋(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)． 即当n＝k＋1时等式成立． 综合上述(1)(2)得，对一切正整数n，等式都成立． 10．证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈N＋)． 证明：(1)当n＝4时，四边形有两条对角线，f(4)＝×

8、4×(4－3)＝2，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥4，n∈N＋)时命题成立， 即f(k)＝k(k－3)，那么，当n＝k＋1时，增加一个顶点，凸多边形的对角线增加k－1条，则f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]， 即当n＝k＋1时命题也成立． 根据(1)(2)，可知命题对任意的n≥4，n∈N＋都成立． [B　能力提升] 1．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N＋，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为(　　) A．30 B．26 C．36 D．6 解析：选C.因为f

9、(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36， 所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除． 证明如下：n＝1，2时，由上得证，设n＝k(k≥2，k∈N＋)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则f(k＋1)－f(k)＝(2k＋9)·3k＋1－(2k＋7)·3k ＝(6k＋27)·3k－(2k＋7)·3k ＝(4k＋20)·3k＝36(k＋5)·3k－2， 故f(k＋1)能被36整除． 因为f(1)不能被大于36的数整除， 所以所求最大的m值等于36. 2．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n

10、－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是________． 解析：n＝k时等式为12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝， n＝k＋1时等式为12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12＝. 所以n＝k＋1时等式左边比n＝k时等式左边增加了k2＋(k＋1)2. 答案：k2＋(k＋1)2(或2k2＋2k＋1) 3．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，当n∈N＋时，an＋2＝an＋1＋an，求证：数列{an}的第4m＋1项(m∈N＋)能被3整除． 证明：(1)当m＝1时，

11、 a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3. 即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除． (2)假设当m＝k(k≥1，k∈N＋)时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1. 显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除． 所以3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除． 即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除． 由(1)和(2)知，对于n

12、∈N＋，数列{an}中的第4m＋1项能被3整除． 4．求证：tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n≥2，n∈N＋)． 证明：(1)当n＝2时，左边＝tan α·tan 2α， 右边＝－2＝·－2＝－2 ＝＝＝tan α·tan 2α， 等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立，即有： tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k. 当n＝k＋1时， tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k ＝[1＋tan(k＋1)α·tan α]－k ＝[tan(k＋1)α－tan α]－k ＝－(k＋1)． 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 6