2019-2020学年高中数学 课时作业9 不等式的应用 北师大版选修4-5

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1、课时作业(九) 1．“|x－1|<2”是“x<3”的(　　) A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　因为|x－1|<2，所以－1

2、3)≤－1在x∈R上恒成立时，a的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(1，2] C．[，1) D．(0，] 答案　C 解析　设y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2.故0<≤.因为loga(x2－2x＋3)≤－1，所以logay≤－1. 当01时，y≤，所以a≤≤，此时无解， 综上可得≤a<1，故选C. 4．对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界，若a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　) A. B．－ C. D．－4 答案　B 解析　

3、－－＝－(＋)(a＋b) ＝－(＋＋＋2)≤－(＋2)＝－ 当且仅当＝时等号成立． 由 解得a＝，b＝， 所以当a＝，b＝时，－－有最大值－. 所以－－≤－，故选B. 5．某公司租建仓库，每月土地占有费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________km处． 答案　5 解析　设仓库与车站的距离为x km， 则y1＝，y2＝k2x(k1，k2不为0)， 则k1＝20，k2＝0.8， 所以y1＝，y2＝0.

4、8x， 所以费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2＝8(万元)， 当且仅当0.8x＝，即x＝5时等号成立． 6．设x，y均为正数，且＋＝，则xy的最小值为________． 答案　16 7．制造一个容器为立方米的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，当圆柱形桶的底面半径为________米，高为________米时，所使用的材料成本最低． 答案　　 解析　设此圆柱形桶的底面半径为r米，高为h米，则底面面积为πr2，侧面积为2πrh， 设原料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh 因为桶的容积为， 所以πr2h＝.所以

5、rh＝， 所以y＝30πr2＋π＝10π(3r2＋＋)≥10π×3 当且仅当3r2＝，即r＝时，等号成立，此时h＝. 8．已知矩形的面积为4，则当矩形周长最小时，矩形的边长a和b分别为________． 答案　2，2 解析　由题意可知a>0，b>0，ab＝4，∴a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b＝2时，周长2(a＋b)取最小值． 9．某产品的总成本c(万元)与产量x(台)之间满足关系：c＝300＋20x－x2，其中0

6、0(舍去)． 10．周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱侧面积的最大值为________． 答案　50π cm2 解析　设矩形的长为x，则宽为10－x，如图所示， 则圆柱的侧面积S＝2πx·(10－x)(00，10－x>0，∴S＝2πx·(10－x)≤2π·()2＝2π×25＝50π cm2，当且仅当x＝10－x，即x＝5时取等号． 11．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20 m长的墙壁，问应围成长为________ m，宽为________ m的长方形才能使小屋面积最大． 答案　10　5 解析　设长为x m，y m，x＋2

7、y＝20，y＝10－，∴S＝x·y＝x(10－)，0

8、_____米时水池的总造价最低． 答案　40 解析　设水池底面一边长的长度为x米，水池的总造价为l元，则由题意可知水池底面的另一边的长度为＝(米)．∴池壁的造价为2×(3×)×120＋2×(3x)×120＝720(x＋)，池底的造价为×150＝240 000，故l＝240 000＋720(x＋)≥240 000＋720×2＝240 000＋720×2×40＝297 600，当且仅当x＝，即x＝40时，l有最小值297 600. 14．物体以v0 m/s的初速度竖直向上运动，t s后的高度h(单位：m)满足h＝v0t－4.9t2，运动过程中物体的速度v(单位：m/s)满足v＝v0－9.8t

9、.现以75 m/s的速度向上发射一发子弹，则子弹保持在100 m以上高度的时间为________；在此过程中，子弹速度大小的取值范围是________． 答案　12.35 s　[0，60.496) 解析　由题意有75t－4.9t2>100，解得

10、2x＋1|＋|2x－3|. (1)求不等式f(x)≤6的解集； (2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围． 解析　(1)不等式f(x)≤6即|2x＋1|＋|2x－3|≤6， 该不等式等价于 ①或②或③ 解①得－1≤x<－， 解②得－≤x≤， 解③得4，解此不等式得a<－3或a>5. 故实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 16．稳定房价，某地政府决

11、定建造一批保障房供给社会，计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx＋800)元(其中k为常数)．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元． (每平方米平均综合费用＝) (1)求k的值； (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？ 解析　(1)如果每幢楼为5层， 那么总的建筑面积为[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4

12、k＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10， 1 270＝{16 000 000＋[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×5)，解得k＝50. (2)设小区楼房每幢为n(n∈N*)层时， 每平方米平均综合费用为f(n)元，由题设可和衣而卧 f(n)＝{16 000 000＋[(50＋800)＋(100＋800)＋…＋(50n＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×n)＝＋25n＋825≥2＋825＝1 225. 当且仅当＝25n，即n＝8时等号成立． 故该小区楼房每幢建

13、8层时，每平方米的平均综合费用最低，为1 225元． 1．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其他费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为0.5)，其他费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时，要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以________海时/小时的航行速度行驶． 答案　40 解析　设航行速度为x海里/小时，每小时的燃料费用为0.5x2(0

14、00·＝150(x＋)(0

15、x)＝(x3－x＋8)·＝x2＋－＝x2＋＋－≥3－＝15－＝11.25，当且仅当x2＝，即当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升． 3.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长为x，y(单位：米)的矩形，上部是斜边长为x的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米．则x＝________米，y＝________米时用料最省． 答案　8－4　2 解析　由题意得xy＋x·＝8(x>0，y>0)，∴y＝－，∵y＝－>0，∴0

16、)x＝，即x＝8－4，y＝2时取等号．∵0

17、00x2＋210×4xy＋80×2y2＝38 000＋4 000x2＋. (2)∵x>0，∴S≥38 000＋2＝118 000，当且仅当x＝时， Smin＝118 000元． 5．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时资金不超过投资收益的20%. (1)若建立函数f(x)模型制定奖励方案，试用数字语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求； (2)现有两个奖励函数模型：①f(x)＝＋2；②f(x)＝4lgx－3.

18、试分析这两个函数模型是否符合公司要求？ 解析　(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是： 当x∈[10，1 000]时，①f(x)是增函数；②f(x)≤恒成立；③f(x)≤9恒成立． (2)①对于函数模型f(x)＝＋2： 当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1 000)＝＋2＝＋2<9. 所以f(x)≤9恒成立． 因为函数＝＋在[10，1 000]上是减函数， 所以[]max＝＋>.从而＝＋≤，即f(x)≤不恒成立． 故该函数模型不符合公司要求． ②对于函数模型f(x)＝4lgx－3： 当x∈[10，1 000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1 000)＝4lg1 000－3＝9. 所以f(x)≤9恒成立． 设g(x)＝4lgx－3－，则g′(x)＝－. 当x≥10时，g′(x)＝－≤＝<0，所以g(x)在[10，1 000]上是减函数，从而g(x)≤g(10)＝－1<0.所以4lgx－3－<0，即4lgx－3<，所以f(x)≤恒成立，故该函数模型符合公司要求． 8