垂径定理教学案例

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1、垂径定理(第一课时)教学案例【教学内容】 7. 3垂径定理(初三几何课本 P76P78)【教学目标】1 知识目标:通过观察实验,使学生理解圆的轴对称性; 掌握垂径定理,理解其证明,并会用它解决有关的证明与计算问题; 掌握辅助线的作法一一过圆心作一条与弦垂直的线段。2 能力目标:通过定理探究,培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力;向学生渗透“由特殊到一般,再由一般到特殊”的基本思想方法。3情感目标:结合本课教学特点,向学生进行爱国主义教育和美育渗透;激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。【教学重点】垂径定理及其应用。【教学难点】垂径定理的证明。【教学方法】探究发现法。【教具准备】自制的教

2、具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、圆规【教学设计】一、实例导入,激疑引趣1 实例:同学们都学过中国石拱桥这篇课文(初二语文第三册第一课茅以 升),其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 (如图)。因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县(古称赵州)而得名,是世界上现存最早、保存 最好的巨大石拱桥,距今已有 1400多年历史,被 誉为“华北四宝之一”,它的结构是当时世界桥梁 界的首创,这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧。2导入:赵州桥的桥拱呈圆弧形的(如图1),它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4米,拱高(弧的中点到弦AB的距离, 也叫弓高)为7.2米。请问:桥拱的 半径(即AB所在圆的

3、半径)是多少?通过本节课的学习,我们将能很容易解决这一问题。(图1)、尝试诱导,发现定理1复习过渡:如图2(a),弦AB将。O分成几部分?各部分的名称是什么?如图2(b),将弦AB变成直径O被分成的两部分各叫什么?2 实验验证::(c)让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折,观察两部分是否重合;教师用电 脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质圆是轴对称图形,过圆心的任意一条直线(或直径所在的直线)都是它的对称轴。3. 运动变换:如图3(a),AB、CD是。O的两条直径,图中有哪些相等的线段和相等的弧?如图3(b),当AB丄CD时,图中又有哪些相等的线段和相等的弧?如图3(c),当AB向

4、下平移,变成非直径的弦时,图中还有哪些相等的线段和相 等的弧?此外,还有其他的相等关系吗?4. 提出猜想:根据以上的研究和图 3(c),我们可以大胆提出这样的猜想一一、CD是圆0的直径(板书)CD弦AB,垂足为EAE BDAC BCAD BD5. 验证猜想:教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折,这条特殊直径两侧的 图形能够完全重合,并给这条特殊的直径命名为一一垂直于弦的直径。三、引导探究,证明定理1. 引导证明:猜想是否正确,还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。 证明“ AE=BE”,可通过连结0A、0B来实现,利用等腰三角形性质证明。 证明“弧相等”,就是要证明它们“能够

5、完全重合”,可利用圆的对称性证明。2. 归纳定理:根据上面的证明,请学生自己用文字语文进行归纳,并将其命名为“垂径定理” 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。3巩固定理:在下列图形(如图4(a)(d)中,AB是。O的弦,CD是。O的弦,它们是否适用于“垂径定理”?若不适用,说明理由;若适用,能得到什么结论。(b)E是AB中点(a)AB 丄 CD 于 Ed,OB(图7)(图4)向学生强调:(1)定理中的两个条件缺一不可;(2)定理的变式图形。四、例题示范,变式练习1 运用定理进行计算。例1如图5,在。O中,若弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm, 求O O的半径。分

6、析:因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”,所以要作 辅助线OE丄AB ;因为要求半径,所以还要连结 OA。解:(略)学生口述,教师板书。变式一在图5中,若。O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=思考一:若圆的半径为R,条弦长为a,圆心到弦的距离为 则R、a、d三者之间的关系式是。变式二如图6,在。O中,半径OC丄AB,垂足为E,若 CE=2cm,AB=8cm,则O O 的半径=思考二:你能解决本课一开始提出的问题吗?(由学生口述方法)2运用定理进行证明例2已知:如图7,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证:AC = BD o分析:证明两条线段相等,最常用的方法

7、是什么?用这种方法怎样证明?(证明 OAC OBD 或证明 OADOBC)此外,还有更简捷的证明方法吗?若有,又怎样证明?(垂径定理)证法一:连结OA、OB、OC、OD,用“三角形全等”证明证法二:过点0作0E丄AB于E,用“垂径定理”证明。(详见课本P77例2) 注1:通过两种证明方法的比较,选择最优证法。注2:辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键,也是常用辅助线。 思考:在图7中,若AC=2,AB=10,则圆环的面积是变式一若将图7中的大圆隐去,还需什么条件,才能保证AC=BD ?变式二若将图7中的小圆隐去,还需什么条件,才能保证AC=BD ?变式三将图7变成图8 (三个同心圆)

8、,你可以证明哪些线段相等?例3(选讲)如图9,RtAABC中,/ ACB = 90AC = 3, BC = 6 2,以C为圆心、CA长为半径画弧,交00(图8)FDD略解:过点C作CE丄AB于E,先用勾股定理求得(图9)斜边AB于D,求AD的长。(答案:2)由垂径定理得AD=2 o(图 10)B(图 11)六、达标检测,反馈效果BAB=9,再用面积法求得CE=2、2,最后用勾股定理求得 AE=1 ,五、师生小结,纳入系统1. 定理的三种基本图形如图 10、11、12o2计算中三个量的关系一一如图13,R2 d2(a)2 o23. 证明中常用的辅助线一一过圆心作弦的垂线段。(图 14)(图 15)1.(课本P78练习第1题)如图14,在O O的半径为50mm,弦AB=50mm,则点O到AB的距离为,/ AOB =度。2. 作图题:经过已知O O内的已知点A作弦, 使它以点A为中点(如图15)o3. 课本P78练习第2题。课堂练习姓名得分1如图,O O的半径为50mm,弦AB=50mm,则点O到AB的距离为/ AOB =2.作图题:经过已知。O内的已知点(第 3 题)要求:保留作图痕迹,但不必写作法。3.已知:如图,在。O中,AB、OE丄AC,垂足分别为D、E。求证:四边形ADOE是正方形。

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