2020版高考数学一轮复习 课后限时集训29 等差数列及其前n项和 文（含解析）北师大版

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1、课后限时集训(二十九)　 (建议用时：60分钟) A组　基础达标 一、选择题 1．在等差数列{an}中，若前10项的和S10＝60，且a7＝7，则a4＝(　　) A．4　　　　B．－4　　　　C．5　　　　D．－5 C　[法一：由题意得解得∴a4＝a1＋3d＝5，故选C． 法二：由等差数列的性质有a1＋a10＝a7＋a4，∵S10＝＝60，∴a1＋a10＝12.又∵a7＝7，∴a4＝5，故选C．] 2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a7＋a12＝24，则S13＝(　　) A．52 B．78 C．104 D．208 C　[由a2＋a7＋a12＝24得3a7＝2

2、4， 即a7＝8， ∴S13＝＝13a7＝13×8＝104，故选C．] 3．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为(　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ A　[由已知式＝＋可得－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.] 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，m≥2，m∈N*，则m＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，∴am＝Sm－Sm－1＝2. 又Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－

3、Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1. 又 Sm＝＝＝0， ∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.] 5．(2019·银川模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上述的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为(　　) A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤 A　[依题意，金箠由粗到细各尺的重量构成一个等差数列，设首项a1

4、＝4，则a5＝2，由等差数列的性质得a2＋a4＝a1＋a5＝6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤．故选A．] 二、填空题 6．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝________. 22　[ak＝a1＋(k－1)d＝(k－1)d，a1＋a2＋a3＋…＋a7＝7a4＝7a1＋21d＝21d，所以k－1＝21，得k＝22.] 7．在等差数列{an}中，公差d＝，前100项的和S100＝45，则a1＋a3＋a5＋…＋a99＝________. 10　[a2＋a4＋a6＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋25，由S100＝

5、45得a1＋a3＋a5＋…＋a99＝10.] 8．(2019·青岛模拟)若x≠y，数列x，a1，a2，y和x，b1，b2，b3，y各自成等差数列，则＝________. 　[由题意得a1－a2＝，b1－b2＝，所以＝.] 三、解答题 9．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110. (1)求a及k的值； (2)设数列{bn}的通项bn＝，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn. [解]　(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a， 由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2， 所以Sk＝ka1＋·d＝2k

6、＋×2＝k2＋k. 由Sk＝110，得k2＋k－110＝0， 解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10. (2)证明：由(1)得Sn＝＝n(n＋1)， 则bn＝＝n＋1， 故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1， 即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列， 所以Tn＝＝. 10．(2019·长春模拟)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列． (1)求{an}的通项公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. [解]　(1)设{an}的公差为d.由题意，得 a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(

7、a1＋12d)． 于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)或d＝－2. 故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而Sn＝(a1＋a3n－2) ＝(－6n＋56) ＝－3n2＋28n. B组　能力提升 1．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(　　) A．公差为3的等差数列　　　B．公差为4的等差数列 C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列 C　[an＝n＋a1－1， ∴a2n－1＝2n＋

8、a1－2，a2n＝2n＋a1－1， ∴a2n－1＋2a2n＝6n＋3a1－4. 因此数列{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列，故选C．] 2．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：几日相逢？(　　) A．9日 B．8日 C．16日 D．12日 A　[根据题意，显然良马每日行程构成一个首项a1＝103，公差d1＝13的等差数列，前n天共跑的里程为S＝na1＋d1＝103n＋n(n－1)＝6.5n2＋96.5n；驽

9、马每日行程也构成一个首项b1＝97，公差d2＝－0.5的等差数列，前n天共跑的里程为S＝nb1＋d2＝97n－n(n－1)＝－0.25n2＋97.25n.两马相逢时，共跑了一个来回．设其第n天相逢，则有6.5n2＋96.5n－0.25n2＋97.25n＝1 125×2，解得n＝9，即它们第9天相遇，故选A．] 3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则正整数m的值为________． 5　[由题意知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，则公差d＝am＋1－am＝1. 由Sm＝0得＝0，解得a1＝－am＝－2， 则am＝－2＋(m

10、－1)×1＝2，解得m＝5.] 4．(2019·武汉模拟)已知数列{an}满足a1＝2，n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)． (1)求证：数列是等差数列，并求其通项公式； (2)设bn＝－15，求数列{|bn|}的前n项和Tn. [解]　(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)， ∴nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，∴－＝2， ∴数列是等差数列，其公差为2，首项为2， ∴＝2＋2(n－1)＝2n. (2)由(1)知an＝2n2，∴bn＝－15＝2n－15， 则数列{bn}的前n项和Sn＝＝n2－14n. 令bn＝2n－15≤0，n∈N*，解得n≤7. ∴n≤7时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－bn＝－Sn＝－n2＋14n. n≥8时，数列{|bn|}的前n项和Tn＝－b1－b2－…－b7＋b8＋…＋bn＝－2S7＋Sn＝－2×(72－14×7)＋n2－14n＝n2－14n＋98. ∴Tn＝ - 5 -