2020届高考数学二轮复习 每日一题 规范练（第五周）理

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1、每日一题　规范练(第五周) [题目1] 已知Sn为等比数列{an}的前n项和，公比q＝2，且S2＝3，等差数列{bn}满足b2＝a3，b3＝－b5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn的最大值． 解：(1)因为等比数列{an}满足公比q＝2，前2项和S2＝3， 所以S2＝a1＋a2＝a1＋2a1＝3，解得a1＝1， 所以an＝a1×qn－1＝2n－1. (2)由题及(1)知，b2＝a3＝4. 因为b3＋b5＝0，所以b4＝0， 则数列{bn}的公差d＝＝－2＜0， 故当n＝3或4时，Tn取得最大值， 此时T3＝T4＝b1＋b

2、2＋b3＝3b2＝12. [题目2] 如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝45°，∠BAD＝105°，AD＝，BC＝2，AC＝3. (1)求边AB的长及cos ∠ABC的值； (2)若记∠ABC＝α，求sin的值． 解：(1)在△ABD中，∠ABD＝180°－(45°＋105°)＝30°， 由＝， 得AB＝＝×＝. 在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos ∠ABC， 所以32＝3＋22－2×2cos ∠ABC， 所以cos ∠ABC＝－. (2)由(1)知cos α＝－，α∈， 所以sin α＝＝，sin 2α＝－， cos 2α ＝－.

3、所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝. [题目3] (2019·长沙雅礼中学检测)某公司为评估两套促销活动方案(方案1的运作费用为5元/件；方案2的运作费用为2元/件)，在某地区部分营销网点进行试点(每个试点网点只采用一种促销活动方案)，运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，制作相应的等高条形图如图所示． (1)请根据等高条形图提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销活动方案(不必说明理由)； (2)已知该公司产品的成本为10元/件(未包括促销活动运作费用)，为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的8组售价xi(单元：元/件，整数)和销售yi

4、(单位：件)(i＝1，2，…，8)如下表所示： 售价 33 35 37 39 41 43 45 47 销量 840 800 740 695 640 580 525 460 ①请根据下列数据计算相应的相关指数R2，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合； ②根据所选回归模型，分析售价x定为多少时？利润z可以达到最大． 项目 ＝－1 200ln x＋5 000 ＝－27x＋1 700 ＝－x2＋1 200 52 446.95 13 142 122.89 124 650 附：相关指数R2＝1－. 解：(1)由等高条形图可知，

5、年度平均销售额与方案1的运作相关性强于方案2. (2)①由已知数据可知，回归模型＝－1 200ln x＋5 000对应的相关指数R＝0.579 2； 回归模型＝－27x＋1 700对应的相关指数R＝0.894 6； 回归模型＝－x2＋1 200对应的相关指数R＝0.999 0. 因为R＞R＞R，所以采用回归模型＝－x2＋1 200进行拟合最为合适． ②由(1)可知，采用方案1的运作效果比方案2好， 故利润z＝(x－15)， z′＝－(x＋30)(x－40)， 当x∈(0，40)时，z′＞0，z＝(x－15)单调递增； 当x∈(40，＋∞)时，z′＜0，z＝(x－15)单调递减

6、， 故当售价x＝40时，利润z达到最大． [题目4] 如图，四边形ABCD是菱形，EA⊥平面ABCD，EF∥AC，CF∥平面BDE，G是AB中点． (1)求证：EG∥平面BCF； (2)若AE＝AB，∠BAD＝60°，求二面角A-BE-D的余弦值． (1)证明：设AC∩BD＝O，连接EO，OG. 因为G是AB中点，O是AC，BD的中点， 所以OG∥BC. 又OG⊄平面BCF，知OG∥平面BCF. 因为CF∥平面BDE，且平面BDE∩平面ACFE＝EO， 所以EO∥CF. 由EO⊄平面BCF，知EO∥平面BCF. 又EO∩OG＝O，所以平面EOG∥平面BCF.

7、又EG⊂平面EOG，故EG∥平面BCF. (2)解：由(1)知EO∥CF，AO＝OC， 又EF∥AC，所以EFOA. 则四边形AOFE为平行四边形，所以AE∥FO. 又EA⊥底面ABCD，AC⊥BD， 则OA，OB，OF两两垂直． 如图建立空间直角坐标系O-xyz，设AE＝AB＝2， 又因为∠BAD＝60°，所以DG⊥AB，OA＝，OB＝1，则 E＝(，0，2)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，G， 所以＝(0，2，0)，＝(，－1，2)． 设平面BDE的法向量n＝(x，y，z)， 得可取n＝(2，0，－)． 因为EA⊥DG，EA∩AB＝A，所以DG⊥平面EA

8、B， 所以平面EAB的法向量可取＝. 所以cos〈n，〉＝＝＝. 所以二面角A-BE-D的余弦值为. [题目5] 已知函数f(x)＝－ax2＋ex－1. (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为e，求a的值； (2)求证：当x＞0时，f(x)＞0. (1)解：由函数f(x)＝－ax2＋ex－1，可得f′(x)＝ex－2ax. 因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为e， 所以f′(1)＝e－2a＝e， 所以a＝0. (2)证明：由(1)知，f′(x)＝ex－2ax. 令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝ex－2a. ①当0≤a

9、≤时，h′(x)＞0，函数h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递增． 所以f′(x)＞f′(0)＝1，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 因此f(x)＞f(0)＝0，满足题意． ②当＜a≤时，令h′(x)＝ex－2a＝0，解得x＝ln 2a. 当x∈(0，ln 2a)时，h′(x)＜0，f′(x)＝h(x)单调递减； 当x∈(ln 2a，＋∞)时，h′(x)＞0，f′(x)＝h(x)单调递增． 所以f′(x)min＝f′(ln 2a)＝eln 2a－2aln 2a＝2a(1－ln 2a)． 因为a≤，所以1－ln 2a≥0，所以f′(x)min≥0， 所以f(x)在(0，＋

10、∞)上单调递增，故f(x)＞f(0)＝0，满足题意． 综上，当x＞0时，f(x)＞0. [题目6] 设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b，0)，且|FB|·|AB|＝6. (1)求椭圆的方程； (2)设直线l：y＝kx(k＞0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于Q.若＝sin ∠AOQ(O为原点)，求k的值． 解：(1)设椭圆的焦点为2c，由已知有＝， 又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b. 由已知可得，|FB|＝a，|AB|＝b， 由|FB|·|AB|＝6， 可得ab＝6，从而a＝3，b＝2. 所以，椭圆

11、的方程为＋＝1. (2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)． 由已知，y1＞y2＞0. 故|PQ|sin ∠AOQ＝y1－y2. 又因为|AQ|＝，而∠OAB＝， 故|AQ|＝y2. 由＝sin ∠AOQ，可得5y1＝9y2. 由方程组消去x，可得y1＝. 易知直线AB的方程为x＋y－2＝0， 由方程组消去x，可得y2＝. 代入5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3， 将等式两边平方，整理得56k2－50k＋11＝0， 解之得k＝或k＝. 故实数k的值为或. [题目7] 1.[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，圆C1

12、的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝2cos. (1)求圆C1的普通方程和圆C2的直角坐标方程； (2)判断圆C1与圆C2的位置关系． 解：(1)由圆C1的参数方程(α为参数)， 得圆C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4. 由圆C2的极坐标方程ρ＝2cos，可得ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 转换为圆C2的直角坐标方程为x2＋y2＝2x－2y， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝2. (2)由(1)知，圆C1的半径r1＝2，圆心坐标为(0，2)， 圆C2的半径r2＝，圆心坐标为(1，－1)， 所以圆心距d

13、＝＝， 所以r1－r2＝2－＜，r1＋r2＝2＋＞， 所以圆C1与C2相交． 2．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|. (1)若关于x的不等式f(x)＞a有解，求实数a的取值范围； (2)解不等式f(x)＜x2－2x. 解：(1)f(x)＝|x－2|－|x＋1|＝ 故f(x)的值域为[－3，3]， 所以f(x)的最大值是3， 若f(x)＞a成立有解，则有a＜f(x)max，即a＜3， 所以a的取值范围是(－∞，3)． (2)当x≤－1时，x2－2x＞3，得x＜－1； 当－1＜x＜2时，x2－2x＞－2x＋1，得1＜x＜2； 当x≥2时，x2－2x＞－3，得x≥2. 综上，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． - 7 -