2020届高考数学一轮总复习 第十单元 计数原理 、概率与统计 第79讲 变量的相关性、回归分析、独立性检验练习 理（含解析）新人教A版

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1、第79讲　变量的相关性、回归分析、独立性检验 1．设某大学的女生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(D) A．y与x具有正的线性相关关系 B．回归直线过样本点的中心(，) C．若该大学某女生的身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D．若该大学某女生的身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg A、B、C均正确，是回归方程的性质．D项是错误的，线性回归方程只能预测学生的体重，选项D应改为“若该大学

2、某女生身高为170 cm，则估计其体重大约为58.79 kg”才正确． 2．(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米)和身高y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系．设其回归直线方程为y ＝b x＋a .已知i＝225，i＝1 600，b ＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为(C) A．160 B．163 C．166 D．170 因为i＝225，所以＝i＝22.5. 因为i＝1 600，所以＝i＝160. 又b ＝4，所以a ＝－b ＝160－4×22.5＝70. 所以回归直线方程为y

3、 ＝4x＋70. 将x＝24代入上式得y ＝4×24＋70＝166. 3．下列关于K2的说法中正确的是(C) A．K2在任何相互独立问题中都可以用于检验有关还是无关 B．K2的值越大，两个事件的相关性就越大 C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对两个分类变量适合 D．K2的观测值的计算公式为 k＝ 4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由K2＝算得， K2＝≈7.8. 附表： P(K

4、2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是(A) A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解：因为7.8>6.635，所以99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，选A. 5．对于一组数据的两个函数模型，模型Ⅰ和模型Ⅱ的残差平方和分别为180.2和290.7，若从中选取一个拟合

5、程度较好的函数模型，应选　模型Ⅰ　. 解：残差平方和越小，函数模型对数据的拟合效果越好；残差平方和越大，说明函数模型对数据的拟合效果越差． 6．已知x、y的取值如下表所示， x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，则a＝　2.6　. 解：因为回归直线方程必过样本点的中心(，)， 由表中数据得＝2，＝4.5，将(2,4.5)代入y＝0.95x＋a，可得a＝2.6. 7．(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图． 为了预测该地

6、区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值． (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． (1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)． 利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资

7、额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： (i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础

8、设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． (ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． (以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分) 8．一车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了8次试验，收集的数据如下表： 零件数x(个) 10 20 30 40 加工时间y(min) 62 68 75 81 零件数x(个) 50 60 70 80 加工时间y(

9、min) 89 95 102 108 设回归方程为y ＝bx＋a，则点(a，b)在直线x＋45y－10＝0的(C) A．左上方 B．左下方 C．右上方 D．右下方 解：由＝45，＝85，得a＋45b＝85，即有a＋45b－10>0，故点(a，b)在直线x＋45y－10＝0的右上方，故选C. 9．某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过这种血清的人与另外500名未使用这种血清的人一年中的感冒记录比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2＝3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.由下列结论中，正确

10、结论的序号是　①　. ①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”； ②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%. 解：因为K2＝3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05， 所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”． 10．(2018·佛山一模)有甲、乙两家公司都愿意聘用某求职者，这两家公式的具体聘用信息如下： 甲公司 ： 职位 A B C D 月薪/元 6000 7000 8000 9000 获得相应职位概率 0.4

11、 0.3 0.2 0.1 乙公司： 职位 A B C D 月薪/元 5000 7000 9000 11000 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 (1)根据以上信息，如果你是该求职者，你会选择哪一家公司？说明理由； (2)某课外实习作业小组调查了1000名职场人士，就选择这两家公司的意愿作了统计，得到如下数据分布： 人员结构 选择意愿 40岁以上 (含40岁) 男性 40岁以上 (含40岁) 女性 40岁以下 男性 40岁以下 女性 选择甲公司 110 120 140 80 选

12、择乙公司 150 90 200 110 若分析选择意愿与年龄这两个分类变量，计算得到的K2的观测值为k1＝5.5513，测得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错误的概率的上限是多少？并用统计学知识分析，选择意愿与年龄变量和性别变量哪一个关联性更大？ 附：K2＝ P(K2≥k) 0.050 0.025 0.010 0.005 k 3.841 5.024 6.635 7.879 (1)设甲公司与乙公司的月薪分别为随机变量X，Y， 则E(X)＝6000×0.4＋7000×0.3＋8000×0.2＋9000×0.1＝7000， E(Y)＝5000×0.4＋700

13、0×0.3＋9000×0.2＋11000×0.1＝7000， D(X)＝(6000－7000)2×0.4＋(7000－7000)2×0.3＋(8000－7000)2×0.2＋(9000－7000)2×0.1＝10002， D(Y)＝(5000－7000)2×0.4＋(7000－7000)2×0.3＋(9000－7000)2×0.2＋(11000－7000)2×0.1＝20002， 则E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)， 我希望不同职位的月薪差距小一些，故选择甲公司； 或我希望不同职位的月薪差距大一些，故选择乙公司． (2)因为k1＝5.5513＞5.024，根据表中对应值， 得出“选择意愿与年龄有关系”的结论犯错的概率的上限是0.025， 由数据分布可得选择意愿与性别两个分类变量的2×2列联表如下： 选择甲公司 选择乙公司 总计 男 250 350 600 女 200 200 400 总计 450 550 1000 计算K2＝＝≈6.734， 且K2＝6.734＞6.635， 对照临界值表得出结论“选择意愿与性别有关”的犯错误的概率上限为0.01，由0.01＜0.025，所以与年龄相比，选择意愿与性别关联性更大． 7