2020届高考数学一轮总复习 第七单元 不等式与推理证明 第48讲 直接证明与间接证明练习 理（含解析）新人教A版

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1、第48讲　直接证明与间接证明 1．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为(D) A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数 C．a，b，c中至少有两个偶数 D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数 恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数，选D. 2．(2016·宁夏银川模拟)若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a>b与a

2、D．3 ①②正确，③中，a≠c，b≠c，a≠b可能同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3. 3．设x，y，z∈R＋，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三数(C) A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝x＋＋y＋＋z＋≥6， 若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6与上式矛盾，故a，b，c中至少有一个不小于2，选C. 4．已知函数y＝f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D(x1≠x2)，都有f

3、()<，则称y＝f(x)为D上的凹函数．由此可得下列函数中的凹函数为(C) A．y＝log2x B．y＝ C．y＝x2 D．y＝x3 可以根据图象直观观察；对于C证明如下： 欲证f()<，即证()2<. 即证(x1＋x2)2<2x＋2x.即证(x1－x2)2>0. 显然成立．故原不等式得证． 5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是　a≤b　. 6．设a，b，u都是正实数，且a，b满足＋＝1，则使得a＋b≥u恒成立的u的取值范围是　(0,16]　. 因为＋＝1， 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝1＋×9＋＋9 ≥10＋2＝16. 当且仅当＝

4、，即a＝4，b＝12时取等号． 若a＋b≥u恒成立，所以00，则下列不等关系恒成立的是(C) A．b－a<2 B．a＋2b>2 C．b－a>2 D．a＋2b

5、<2 由题意知f(－x)＝＝＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数， 又f(x)＝＝＝－1， 所以f(x)是R上的减函数， 由f(2a＋b)＋f(4－3b)>0， 可得f(2a＋b)>－f(4－3b)＝f(3b－4)， 故2a＋b<3b－4，即b－a>2，故选C. 9.(2016·南昌市高三一模)已知函数f(x)的定义域为D，若∀a，b∈D，f(a)，f(b)，f(c)分别为某个三角形的三边长，则称f(x)为“三角形函数”．给出下列四个函数： ①f(x)＝ln x(x>1); ②f(x)＝4＋sin x； ③f(x)＝x(1≤x≤8); ④f(x)＝. 其中“三角形

6、函数”的个数是(B) A．1 B．2 C．3 D．4 因为f(a)，f(b)，f(c)分别为某个三角形的三边长，所以应满足三角形两边之和大于第三边的性质，因此不妨依次验证四个函数是否满足f(a)＋f(b)>f(c)． ①f(x)＝ln x(x>1)，若f(a)＋f(b)＝ln ab>ln c，则可得ab>c，而ab>c不一定成立，如a＝2，b＝3，c＝8，因此，f(x)＝ln x(x>1)不是“三角形函数”； ②f(x)＝4＋sin x，若f(a)＋f(b)＝8＋sin a＋sin b>4＋sin c，则可得4＋sin a＋sin b>sin c，不等式恒成立，因此，f(x)＝

7、4＋sin x是“三角形函数”； ③f(x)＝x(1≤x≤8)，假设f(a)＋f(b)＝a＋b>c，当a＝1，b＝1，c＝8时不成立，所以f(x)＝x不是“三角形函数”； ④f(x)＝＝1＋，若f(a)＋f(b)＝2＋＋>1＋， 则1＋＋>，因为<1，所以不等式一定成立，因此，f(x)＝是“三角形函数”． 综上，②④是“三角形函数”． 10．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn； (2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． (1)由已知得所以d＝2， 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)． (2)证明：由(1)得bn＝＝n＋. 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr.即(q＋)2＝(p＋)(r＋)， 所以(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0. 因为p，q，r∈N*， 所以所以()2＝pr，所以(p－r)2＝0， 所以p＝r.这与p≠r矛盾． 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 4