2020年高考数学一轮复习 考点题型 课下层级训练32 等比数列及其前n项和（含解析）

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1、课下层级训练(三十二)　等比数列及其前n项和 [A级　基础强化训练] 1．(2019·山东济南检测)在数列{an}中，a1＝1，数列{an}是以3为公比的等比数列，则log3a2 019等于(　　) A．2 017　 B．2 018　 C．2 019　 D．2 020 【答案】B　[∵a1＝1，数列{an}是以3为公比的等比数列，∴a2 019＝1×32 019－1＝32 018，∴log3a2 019＝log332 018＝2 018.] 2．(2019·山东滨州检测)已知等比数列{an}中，a1＋a2＝，a1－a3＝，则a4＝(　　) A．－ B． C．－4 D．4 【答

2、案】A　[∵等比数列{an}中，a1＋a2＝，a1－a3＝，∴ 解得a1＝1，q＝－，∴a4＝a1q3＝1×3＝－.] 3．(2019·山东德州检测)已知数列{an}是各项为正数的等比数列，点M(2，log2a2)、N(5，log2a5)都在直线y＝x－1上，则数列{an}的前n项和为(　　) A．2n－2 B．2n＋1－2 C．2n－1 D．2n＋1－1 【答案】C　[由题意可得：log2a2＝2－1＝1，log2a5＝5－1＝4，则a2＝2，a5＝16，数列的公比q＝＝＝2，数列的首项a1＝＝＝1，其前n项和Sn＝1×＝2n－1.] 4．(2019·山东潍坊月考)等比数列{an

3、}的前n项和为Sn＝a·3n－1＋b，则＝(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A　[∵Sn＝a·3n－1＋b，∴a1＝S1＝a＋b，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2a·3n－2，因为数列是等比数列，∴a＋b＝2a×，即b＝－a.] 5．数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于(　　) A．1 B．－1 C． D．2 【答案】D　[由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.] 6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，

4、Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________. 【答案】6　[因为a1＝2，an＋1＝2an，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又因为Sn＝126，所以＝126，所以n＝6.] 7．(2019·山东曲阜月考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝2，S8＝10，则S16＝________. 【答案】170　[因为数列是等比数列，S4＝2，S8＝10，所以两式相除得1＋q4＝5，∴q4＝4.所以S16＝＝＝10(1＋42)＝170.] 8．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝________. 【答案】　[设S2＝k，S4＝3k，由

5、数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∵S2＝k，S4－S2＝2k，∴S6－S4＝4k，∴S6＝7k，∴＝＝.] 9．(2018·山东临沂期中)已知数列{an}为等差数列，数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝2，b2＝6，且an＋1bn＝anbn＋bn＋1. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前n项和Sn. 【答案】解　(1)数列{an}为公差为d的等差数列， an＋1bn＝anbn＋bn＋1， 可得a2 b1＝a1 b1＋b2，即2a2＝4＋6， 解得a2＝5，可得d＝a2－a1＝3， 可得an＝2＋3(n－1)＝3n－1. (2

6、)an＋1bn＝anbn＋bn＋1， 即为(3n＋2)bn＝(3n－1)bn＋bn＋1， 可得bn＋1＝3bn， 即有数列{bn}为首项为2，公比为3的等比数列， 则前n项和Sn＝＝3n－1. 10．(2017·全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2. (1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式； (2)若T3＝21，求S3. 【答案】解　设{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.① (1)由a3＋b3＝5得2d

7、＋q2＝6.② 联立①和②解得(舍去)， 因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1. (2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0. 解得q＝－5或q＝4. 当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21. 当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6. [B级　能力提升训练] 11．(2019·山东邹城检测)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前2 018项之和S2 018＝(　　) A．22 018 B．22 017－1 C．22 018－1 D．22 019－1 【答案】C　[由题意，{an}是递增的等比数列，则q＞1，a1＞0.

8、由a1＋a4＝9，a2a3＝8，即a1＋a1q3＝9，aq3＝8，解得a1＝1，q＝2.那么前n项和Sn＝2n－1，则S2 018＝22 018－1.] 12．(2019·山东日照检测)我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为(　　) A． B． C． D． 【答案】B　[设这女子每天分别织布形成数列{an}．则该数列{an}为等比数列，公比q＝2，其前5项和S5＝5.∴5＝，解得a1＝.

9、∴a3＝×22＝.] 13．(2019·山东聊城模拟)已知数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝.若b10b11＝2，则a21＝(　　) A．29 B．210 C．211 D．212 【答案】C　[数列{an}的首项a1＝2，数列{bn}为等比数列，且bn＝，∴b1＝＝，b2＝，∴a3＝2b1b2，b3＝.∴a4＝2b1b2b3.…an＝2b1b2…bn－1，∵b10b11＝2，∴a21＝2b1b2…b20＝2(b1b20)×(b2b19)×…×(b10b11)＝211.] 14．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an(n∈N*)． (1)证明：数列是等比

10、数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，若数列{bn}的前n项和是Tn，求证：Tn<2. 【答案】证明　(1)由题设得＝·，又＝2， 所以数列是首项为2，公比为的等比数列， 所以＝2×n－1＝22－n，an＝n·22－n＝. (2)bn＝＝＝， 因为对任意n∈N*,2n－1≥2n－1， 所以bn≤. 所以Tn≤1＋＋＋＋…＋＝2<2. 15．(2019·湖南长沙模拟)已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1＝1，且a4,3a3，a5成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{an＋1－λan}的前n项和为Sn，若Sn＝2n－1(n∈N*)，求实数λ的值． 【答案】解　(1)设数列{an}的公比为q，由条件得q3,3q2，q4成等差数列，所以6q2＝q3＋q4， 解得q＝－3，或q＝2. 由数列{an}的所有项均为正数，则q＝2， 数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)． (2)记bn＝an＋1－λan， 则bn＝2n－λ·2n－1＝(2－λ)2n－1， 若λ＝2，则bn＝0，Sn＝0不符合条件； 若λ≠2，则＝2，数列{bn}为等比数列，首项为2－λ，公比为2.此时Sn＝(1－2n)＝(2－λ)(2n－1)． 又Sn＝2n－1(n∈N*)，所以λ＝1. 5