5、1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能，这10种情况发生的可能性是相等的．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.
7. (2019·山东潍坊三模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系
6、．若从五类元素中任选两类元素，则两类元素相生的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 从金、木、水、火、土任取两类，共有金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，这10种结果发生的可能性是相等的．其中两类元素相生的有金水、金土、木水、木火、火土，共5种结果，所以两类元素相生的概率为＝，故选A.
8．(2019·资阳二模)箱子里有3双颜色不同的手套(红蓝黄各1双)，有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 记3双手套
7、为Aa，Bb，Cc，有放回地拿出2只，所有基本事件为AA，Aa，AB，Ab，AC，Ac，aA，aa，aB，ab，aC，ac，BA，Ba，BB，Bb，BC，Bc，bA，ba，bB，bb，bC，bc，CA，Ca，CB，Cb，CC，Cc，cA，ca，cB，cb，cC，cc，共36种，这36种情况发生的可能性是相等的．事件A“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”包括Ab，Ac，aB，aC，Ba，Bc，bA，bC，Ca，Cb，cA，cB，共12种，故P(A)＝＝.
二、填空题
9．已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标
8、的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947
1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661
9597 7424 7610 4281
据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为________．
答案 0.75
解析 4次射击中有1次或2次击中目标的有：0371,6011,7610,1417,7140，∴所
9、求概率P＝1－＝＝0.75.
10．在棱长为4的一个正方体内，有一根细线系在上底面的中心处，下方悬挂了一个半径为1的球，且球位于正方体内，已知球面是网状的，小虫可以自由地出入．若一只小虫在某一时刻可以位于正方体内的任意一个位置，则小虫飞入网状球面球体内的概率为________．
答案
解析 小虫飞入网状球面球体内的概率为＝.
11．某汽车站每天上午均有3辆开往A景点的分上、中、下等级的客车．某天，王先生准备在该汽车站乘车去A景点，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的
10、概率为________．
答案
解析 共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中、上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画线的表示王先生所乘的车)，这6种情况发生的可能性是相等的，其中王先生乘上上等车的有③④⑥，共3种情况，所以他乘上上等车的概率为＝.
12．(2019·山东郓城一中三模)七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一
11、部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为________．
答案
解析 设包含7块板的正方形边长为4，其面积为4×4＝16，则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块，其面积为S＝2×1＝2，所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾(阴影部分)的概率为P＝＝.
三、解答题
13．(2019·河南焦作四模)新个税法于2019年1月1日进行实施．为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4b.
(1)
12、求a，b的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数(计算结果保留两位小数)；
(2)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．
解 (1)依题意，(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，
所以a＋b＝0.03，
又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006，
所以中位数为70＋≈75.14.
(2)依题意，得分数在[50,60)的员工抽取了2人，记为a，b，分数在[60,70)的员工抽取了6人，记为1,2,3,4,5,6，所以从这8人中随机抽取2人，所有的情况为(a，b)，(a
13、,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28种，这28种情况发生的可能性是相等的．
其中满足条件的为(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种．
设“至少有1人的分数在[50,60)”的事件为
14、A，则P(A)＝.
一、选择题
1．已知实数m∈[0,1]，向量a＝(2，－2)，b＝(1,1)，则|ma|>|b|的概率是( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ma＝(2m，－2m)，若|ma|>|b|，
则 > ，得m<－(舍去)或m>.所以|ma|>|b|的概率是P＝＝.故选C.
2．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．
由图知，共有
15、24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.
3．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y>x，y>z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,
16、413,421,423,431,432，且这24种结果发生的可能性是相等的．其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为＝，故选B.
4. 下图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为( )
A．8 B．9 C．10 D．12
答案 B
解析 根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积S＝4×4×＝9，故选B.
5．(2019·河南郑州第三次质检)关于圆周率，数学发展史上出现
17、过很多有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x，y)(0
18、张，即＝1－⇒π＝，故选C.
6．(2019·湖南师大附中模拟三)若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为( )
A．0.18 B．0.32 C．0.36 D．0.64
答案 C
解析 设305路车和202路车的进站时间分别为x，y，设所有基本事件为W：“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件A，则A＝{(x，y)|0≤x≤10，0≤y≤10，|x－y|≤2}，画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则S＝10×10－8×8＝36，则P(A)＝＝＝0.36，故选C.
7. (2019·北京师
19、大附中模拟三)剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形(即图中阴影部分)，构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )
A．2－ B．4－ C. D.
答案 B
解析 设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为S弓形＝πr2－·r2·sin＝πr2－r2.
∴所求的概率为P＝＝＝4－，故选B.
8．在圆x2＋y2＝4上任取一点，则该点到直线x＋y－2＝0的距离d∈[0,1]的概率为( )
A. B. C.
20、 D.
答案 C
解析 圆心(0,0)到直线x＋y－2＝0的距离为2，所以该直线与圆相切．设切点为D，如图，
作与直线x＋y－2＝0平行的直线交圆于点A，B，且O到直线AB的距离OC＝1，而OA＝2，所以∠AOB＝.所以劣弧的长度为×2＝，而圆的周长为4π，所以在圆x2＋y2＝4上任取一点，该点到直线x＋y－2＝0的距离d∈[0,1]的概率为＝.
二、填空题
9．给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率是________．
答案
解析 给三人打电话的不同顺序有6种等可能的结果，其中第一个给甲打电话的结果有2种，故所求概率为P＝＝.
10．
21、袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是________．
答案
解析 所有基本事件为(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)，共计8个，这8种情况发生的可能性是相等的．可求对立事件“总分少于4分”即“三黑”的概率为，所以所求概率P＝1－＝.
11．从区间[－2,2]中随机选取一个实数a，则函数f(x)＝4x－a·2x＋1＋1有零点的概率是________．
答案
解析 令t＝2x，函
22、数有零点就等价于方程t2－2at＋1＝0有正根，进而可得⇒a≥1，又a∈[－2,2]，所以函数有零点的实数a应满足a∈[1,2]，故P＝.
12．某人在微信群中发了一个7元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领取的钱数不少于其他任何人的概率是________．
答案
解析 设甲、乙、丙分别领到x元、y元、z元，记为(x，y，z)．则基本事件有：(1,1,5)，(1,5,1)，(5,1,1)，(1,2,4)，(1,4,2)，(2,1,4)，(2,4,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(2,2,3)，(2,3,2)，(3,2,2)，(3,3
23、,1)，(3,1,3)，(1,3,3)，共15种，这15种情况发生的可能性是相等的．其中“甲领取的钱数不少于其他任何人”所含的基本事件有：(5,1,1)，(4,1,2)，(4,2,1)，(3,2,2)，(3,3,1)，(3,1,3)，共6种，所以所求概率P＝＝.
三、解答题
13．(2019·湖南长郡中学模拟) 据了解，大学英语四级改革的一项重要内容就是总分改为710分，每个考生会有一个成绩，不再颁发“合格证”．这也意味着，不再有“及格”一说．大学英语四级考试成绩在425分及以上的考生可以报考大学英语六级考试，英语四级成绩在550分及以上的考生可以报考口语．如图是从某大学数学专业40人的英
24、语四级成绩中随机抽取8人的成绩的茎叶图：
(1)根据这8人的英语四级成绩，估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数和中位数；
(2)在这8人中，从可以报考大学英语六级考试的学生中任取2人，求这2人都可以报考口语的概率．
解 (1)这8人的英语四级成绩的平均数为(386＋410＋450＋485＋520＋564＋575＋610)÷8＝500，
这8人的英语四级成绩的中位数为(485＋520)÷2＝502.5，
由此可估计该大学数学专业英语四级考试成绩的平均数为500分，中位数为502.5分．
(2)设可以报考大学英语六级考试但不能报考口语的3人为A1，A2，A3，可以报考口语的3人为B1，B2，B3，从这6人中任取2人，全部情况为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共15种，这15种情况发生的可能性是相等的．
这2人都可以报考口语的情况为(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共3种，则这2人都可以报考口语的概率P＝＝.
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2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点十八 概率 文
