2020年高考数学一轮复习 考点题型 课下层级训练25 正弦定理和余弦定理的应用（含解析）

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1、课下层级训练(二十五)　正弦定理和余弦定理的应用 [A级　基础强化训练] 1．如图，两座灯塔A和B与河岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°　　　　 B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80° 【答案】D　[由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.] 2．(2019·湖北十堰调研)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离

2、为(　　) A．10 km B．10 km C．10 km D．10 km 【答案】D　[如图所示， 由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10.] 3．(2019·河南郑州月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于(　　) A．5 B．15 C．5 D．15 【答案】D　[在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得＝，所以BC＝15. 在Rt

3、△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15×＝15.] 4．一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　) A．10 n mile B．10 n mile C．20 n mile D．20 n mile 【答案】A　[画出示意图如图所示， 易知，在△ABC中，AB＝20 n mile，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10 n mile.] 5．如图，两座相距60

4、m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　) A．30°　　 B．45°　　 C．60°　　 D．75° 【答案】B　[依题意可得AD＝20，AC＝30，又CD＝50，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.] 6．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.

5、 【答案】70　[设两船之间的距离为d，则d2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d＝70，即两船相距70 n mile.] 7．一船以每小时15 km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km. 【答案】30　[如图所示， 依题意有：AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得＝，解得BM＝30(km)．] 8．(2018·福建福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿

6、直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度为________ m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236. 【答案】22.6　[由题意可得AB＝200，AC＝100，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝105，则BC＝100≈141.4×2.236，又历时14 s，所以速度为≈22.6 m/s.] 9．(2019·山西监测)如图，点A，B，C在同一水平面上，AC＝4，CB＝6. 现要在点C处搭建一个观测

7、站CD，点D在顶端． (1)原计划CD为铅垂线方向，α＝45°，求CD的长； (2)搭建完成后，发现CD与铅垂线方向有偏差，并测得β＝30°，α＝53°，求CD2.(结果精确到1) (本题参考数据：sin 97°≈1，cos 53°≈0.6) 【答案】解　(1)∵CD为铅垂线方向，点D在顶端， ∴CD⊥AB． 又∵α＝45°，∴CD＝AC＝4. (2)在△ABD中，α＋β＝53°＋30°＝83°，AB＝AC＋CB＝4＋6＝10，∴∠ADB＝180°－83°＝97°， ∴由＝得 AD＝＝＝≈5. 在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos α ＝52＋42－

8、2×5×4×cos 53°≈17. 10．已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM＝100 m和BN＝200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A，B之间的距离． 【答案】解　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100， ∴PM＝100，在△PQM中，∠QPM＝60°， 又PQ＝100，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100. 在Rt△AMQ中，由AQ2

9、＝AM2＋QM2，得AQ＝200. 在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200， ∴BQ＝100，cos θ＝. 在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQcos θ ＝(100)2，∴BA＝100. 即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m. [B级　能力提升训练] 11．(2019·广东广州调研)如图所示长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α等于(　　) A． B． C． D． 【答案】A　[由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，

10、AC＝1.4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝，所以sin α＝，所以tan α＝＝.] 12．(2019·湖北武昌调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为(　　) A．14 h B．15 h C．16 h D．17 h 【答案】B　[记现在热带风暴中心

11、的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×20t×600×，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1 575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．] 13．(2018·福建泉州模拟)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD．已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50 m，则该扇形的半径为______ m. 【答案】50

12、　[如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100， CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得 OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500， 解得OC＝50.] 14．(2018·山东临沂期中)我国南宋著名数学家秦九韶在《数学九章》的“田域类”中写道：问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，…，欲知为田几何．意思是已知三角形沙田的三边长分别为13,14,15里，求三角形沙田的面积．请问此田面积为________平方里． 【答案】84　[由题意画出图象： 且AB＝13里，BC＝14里，AC＝15里，在△ABC中，由余弦

13、定理得，cos B＝＝＝，所以sin B＝＝，则该沙田的面积：即△ABC的面积S＝AB·BC·sin B＝×13×14×＝84.] 15．如图所示，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到点A的距离分别为20 km和50 km.某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5 km/s. (1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值； (2)求静止目标P到海防警戒线AC的距离． 【答案】解　(1)依题意，有PA＝PC＝x， PB＝x－1.5×8＝x－12. 在△PA

14、B中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝. 同理，在△PAC中，AC＝50， cos∠PAC＝＝＝. 因为cos∠PAB＝cos∠PAC， 所以＝，解得x＝31. (2)作PD⊥AC于点D，在△ADP中，由cos∠PAD＝，得sin∠PAD＝＝， 所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4(km)． 故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4 km. 16．某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100 m的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10 s后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处

15、．(假设客车匀速行驶) (1)如果此高速路段限速80 km/h，试问该客车是否超速？ (2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？ 【答案】解　(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100 m， 则BC＝100 m. 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100 m， 则BD＝100 m. 在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°， 则DC＝＝200 m， 所以客车的速度v＝＝20 m/s＝72 km/h， 所以该客车没有超速． (2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°， 又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°， 所以∠CEB＝45°. 在△BCE中，由正弦定理可知＝， 所以EB＝＝50 m， 即此时客车距楼房50 m. 7