2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第一部分 刷考点 考点十一 等差数列与等比数列 理

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1、考点十一　等差数列与等比数列 一、选择题 1．已知数列{an}为等比数列，且a3＝－4，a7＝－16，则a5＝(　　) A．－8 B．8 C．±8 D．±4 答案　A 解析　由＝q4得q4＝4，则q2＝2，所以a5＝a3·q2＝－4×2＝－8，故选A. 2．已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a，则a6＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 答案　C 解析　由2a＝a＋a知，数列{a}是等差数列，前两项为1,4，所以公差d＝3，故a＝1＋5×3＝16，所以a6＝4，故选C. 3．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是

2、“{an}是公比为2的等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若an＝2an－1，n＝2,3,4，…，则此数列可以为0,0,0,0,0，…，此时{an}不是等比数列；若{an}是公比为2的等比数列，则由等比数列的定义可知an＝2an－1，n＝2,3,4，….故选B. 4．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n 答案　A 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公

3、差为d.由S4＝0，a5＝5可得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.故选A. 5．(2019·湖南六校联考)已知公差d≠0的等差数列{an}满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝(　　) A．10 B．20 C．30 D．5或40 答案　C 解析　由题知(a4－2)2＝a2a6，因为{an}为等差数列，所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)，因为d≠0，解得d＝3，从而am－an＝(m－n)d＝30，故选C. 6．(2019·河南百校联盟仿真试卷)已知等差数列{an}满足a1＝

4、32，a2＋a3＝40，则{|an|}的前12项和为(　　) A．－144 B．80 C．144 D．304 答案　D 解析　a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40⇒d＝－8，所以an＝40－8n.所以|an|＝|40－8n|＝所以前12项和为＋＝80＋224＝304. 7．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)且a2＝3，a6＝11，则S7等于(　　) A．13 B．49 C．35 D．63 答案　B 解析　由Sn＝an2＋bn(a，b∈R)可知数列{an}是等差数列，所以S7＝＝＝＝49.选B. 8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝

5、－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 答案　A 解析　由a4＋a6＝2a5＝－6得a5＝－3，则公差为＝2，所以由an＝－11＋(n－1)×2＝2n－13≤0得n≤，所以前6项和最小，选A. 二、填空题 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝2，则＝________. 答案　 解析　设等差数列{an}的公差为d，＝2，即a3＋3d＝2a3，a3＝3d，＝＝＝＝. 10．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝，S3＝，则公比q＝________. 答案　1或－ 解析　因为所以即即＝2，所以2q2－q－1＝0

6、，解得q＝1或q＝－. 11．(2019·广东广州天河区综合测试一)在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，则m＝________. 答案　191 解析　等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，am＝a1＋a2＋a3＋…＋a20，则am＝d＋2d＋…＋19d＝d＝190d＝a191，m＝191. 12．(2019·河南新乡第一次模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝1，(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，则Sn＝________. 答案　 解析　∵(n＋1)an＋1＝(n－1)Sn，∴nan＋1＋Sn＋1＝nSn，∴n(S

7、n＋1－Sn)＋Sn＋1＝nSn，∴＝2，∴{nSn}是首项为1，公比为2的等比数列，则nSn＝2n－1，∴Sn＝. 三、解答题 13．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通项公式； (2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围． 解　(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意有 解得 所以an＝8＋(n－1)×(－2)＝－2n＋10. (2)由(1)知a5＝0，即a5＝a1＋4d＝0，即a1＝－4d， 又a1>0，所以d<0， 由Sn≥an得na1＋d≥a1＋(n－1)d， 整

8、理得(n2－9n)d≥(2n－10)d， 因为d<0，所以n2－9n≤2n－10， 即n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10， 所以n的取值范围是1≤n≤10(n∈N*)． 14．已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn. 解　(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6， ∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，∴b1＝1， ∵b2＝2，数列{bn}是等比数列，∴bn＝2n－1. ∴b3＝4，∵a1b

9、3＝12，∴a1＝3， ∵a2＝6，数列{an}是等差数列， ∴an＝3n. (2)由(1)得，令Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1， ∴Cn＋1＝(－1)n＋12n， ∴＝－2，又C1＝－1， ∴数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列， ∴Tn＝＝－[1－(－2)n]＝. 一、选择题 1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n＋1＋λ，则λ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　A 解析　解法一：a2＝S2－S1＝23－22＝4，a3＝S3－S2＝24－23＝8， 所以a1＝＝2，所以S1＝22＋λ

10、＝2，故λ＝－2. 解法二：Sn＝2n＋1＋λ＝2·2n＋λ，根据等比数列前n项和公式的结构知λ＝－2. 2．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？(　　) A．18 B．20 C．21 D．25 答案　C 解析　依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布，选C.

11、 3．若等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项和分别为A，B，C，则(　　) A．A＋B＝C B．B2＝AC C．A＋B－C＝B3 D．A2＋B2＝A(B＋C) 答案　D 解析　由等比数列的性质可知，当公比q≠－1时，A，B－A，C－B成等比数列，所以(B－A)2＝A(C－B)，所以A2＋B2＝AC＋AB＝A(B＋C)，当q＝－1时，易验证此等式成立，故选D. 4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4，S5≥S4≥S6，则公差d的取值范围是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　因为S5≥S4≥S6，所以S4＋a5≥S4≥S4＋a5＋a6，所以a5≥0≥

12、a5＋a6，又a1＝4，所以解得－1≤d≤－. 5．数列{an}中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于(　　) A．(2n－1)2 B．(2n－1) C．4n－1 D．(4n－1) 答案　D 解析　当n＝1时，a1＝2－1＝1；当n≥2，n∈N*时，an＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，n＝1时也符合，所以an＝2n－1(n∈N*)．所以a＝4n－1(n∈N*)也是等比数列，所以a＋a＋…＋a＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝＝，故选D. 6．已知数列{an}是等差数列，r，s，t为正整数，则“r＋t＝2s”是“ar＋at＝2as”的(　

13、　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　设{an}的公差为d，由ar＋at＝2as得(r＋t－2)d＝(2s－2)d，即r＋t＝2s或d＝0，则“r＋t＝2s”是“r＋t＝2s或d＝0”的充分不必要条件．故选C. 7．已知在公比不为1的等比数列{an}中，a2a4＝9，且2a3为3a2和a4的等差中项，设数列{an}的前n项积为Tn，则T8＝(　　) A．×37－ B．310 C．318 D．320 答案　D 解析　由题意，得a＝9，设等比数列的公比为q，由2a3为3a2和a4的等差中项，得3·＋a3q＝4·a3，

14、由公比不为1，解得q＝3，所以T8＝a1·a2·…·a8＝aq28＝aq16·q12＝(a1q2)8·q12＝(a)4q12＝94×312＝320. 8．已知正项数列{an}满足a－2a－an＋1an＝0，设bn＝log2，则数列{bn}的前n项和为(　　) A．n B． C． D． 答案　C 解析　因为a－2a－an＋1an＝0，所以(an＋1＋an)·(2an－an＋1)＝0，又因为an>0，所以2an－an＋1＝0，即＝2，所以数列{an}是公比为2的等比数列，＝＝2n，所以bn＝log2＝log22n＝n，所以数列{bn}的前n项和Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 二、填空题

15、 9．(2019·江西抚州七校联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝30，则S20＝________. 答案　20 解析　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，因为S10＝10，S30＝30，所以(S20－10)2＝10×(30－S20)，解得S20＝20或S20＝－10，因为S20－S10＝q10S10>0，所以S20>0，则S20＝20. 10．(2019·广东深圳适应性考试)等差数列{an}中，a4＝10且a3，a6，a10成等比数列，数列{an}的前20项和S20＝________. 答案　200或

16、330 解析　设数列{an}的公差为d，则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，a10＝a4＋6d＝10＋6d，又a3a10＝a，即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.当d＝0时，S20＝20a4＝200；当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7，于是，S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330. 11．(2019·河北唐山质检)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________. 答案　－ 解析　由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，两边同时除以

17、Sn＋1Sn，得－＝－1，故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则＝－1－(n－1)＝－n，所以Sn＝－. 12．(2019·山东德州第一次考试)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an≠0,3Sn＝anan＋1＋1，则a2019＝________. 答案　3028 解析　数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1,3Sn＝anan＋1＋1　①，当n＝1时，整理得3S1＝3a1＝a1·a2＋1，解得a2＝2，当n≥2时，3Sn－1＝an－1·an＋1　②，①－②得，3an＝an(an＋1－an－1)，由于an≠0，故an＋1－an－1＝3(常数)，故数列{an}的奇数项为首项为

18、1，公差为3的等差数列，则an＝1＋3.数列{an}的偶数项为首项为2，公差为3的等差数列，an＝2＋3，所以a2019＝1＋3＝3028. 三、解答题 13．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. 解　(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若a

19、n＝2n－1，则Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6. 14．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0,4an＋1＝3an－bn＋4,4bn＋1＝3bn－an－4. (1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列； (2)求{an}和{bn}的通项公式． 解　(1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)， 即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列． 由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8， 即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1， 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. - 8 -