2020版高考数学一轮复习 课后限时集训39 平行关系 文（含解析）北师大版

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1、课后限时集训(三十九)　 (建议用时：60分钟) A组　基础达标 一、选择题 1．(2018·长沙模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　) A．m∥α，n∥α，则m∥n B．m∥n，m∥α，则n∥α C．m⊥α，m⊥β，则α∥β D．α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C　[对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确； 对于B，m∥n，m∥α，则n∥α或nα，故B不正确； 对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确； 对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．] 2．

2、下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是(　　) A．①③　　　　　　B．②③ C．①④ D．②④ C　[对于图形①，平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP；对于图形④，AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．] 3．若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是(　　) A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n D．若α∥β，m∥α，n∥

3、m，nβ，则n∥β D　[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或nα，故A错误．在B中，若mα，nβ，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．] 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断： ①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1； ③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推断正确的序号是(　　) A．①③ B．①④ C

4、．②③ D．②④ A　[因为在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1，因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1 ， 因为FG平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D， 所以FG∥平面AA1D1D，故①正确； 因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故②错误； 因为E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点， 所以FG∥BC1， 因为FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1， 所以FG∥平面BC1D1，故③正确； 因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D

5、1相交，故④错误，故选A．] 5．(2019·黄山模拟)E是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱C1D1上的一点(不与端点重合)，BD1∥平面B1CE，则(　　) A．BD1∥CE B．AC1⊥BD1 C．D1E＝2EC1 D．D1E＝EC1 D　[如图，设B1C∩BC1＝O， 可得平面D1BC1∩平面B1CE＝EO， ∵BD1∥平面B1CE，根据线面平行的性质可得D1B∥EO， ∵O为B1C的中点，∴E为C1D1中点，∴D1E＝EC1，故选D.] 二、填空题 6．棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的

6、面积是________． 　[由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为.] 7．(2019·株洲模拟)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1. M∈FH　[∵HN∥DB，FH∥D1D， ∴平面FHN∥平面B1BDD1. ∵点M在四边形EFGH上及其内部运动， 故M∈FH.] 8．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些

7、水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面EFGH所在四边形的面积为定值； ③棱A1D1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值． 其中正确的命题是________． ①③④　[由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，因为A1D1∥BC，BC∥FG， 所以A1D1∥FG且A1D1平面EFGH， 所以A1D1∥平面EFGH(水面)． 所以③是正确的； 对于④，因为水是定量的(定体积V)， 所以S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V. 所以BE·BF＝(

8、定值)，即④是正确的．] 三、解答题 9．(2019·合肥模拟)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点． (1)求证：平面BDM∥平面EFC； (2)若AB＝1，BF＝2，求三棱锥A­CEF的体积． [解]　(1)证明：如图，设AC与BD交于点N，则N为AC的中点，连接MN， 又M为棱AE的中点，∴MN∥EC． ∵MN平面EFC，EC平面EFC， ∴MN∥平面EFC． ∵BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且BF＝DE， ∴BFDE， ∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF

9、. ∵BD平面EFC，EF平面EFC， ∴BD∥平面EFC． 又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC． (2)连接EN，FN.在正方形ABCD中，AC⊥BD， 又BF⊥平面ABCD，∴BF⊥AC． 又BF∩BD＝B，∴AC⊥平面BDEF， 又N是AC的中点，∴V三棱锥A­NEF＝V三棱锥C­NEF， ∴V三棱锥A­CEF＝2V三棱锥A­NEF＝2××AN×S△NEF＝2×××××2＝， ∴三棱锥A­CEF的体积为. 10．在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和四边形ACC1A1都为矩形．设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使DE∥平面A

10、1MC？请证明你的结论． [解]　存在点M为线段AB的中点，使直线DE∥平面A1MC，证明如下： 如图，取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C与AC1的交点． 由已知，O为AC1的中点． 连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线， 所以MDAC，OEAC， 因此MDOE. 连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形， 则DE∥MO. 因为DE平面A1MC，MO平面A1MC， 所以DE∥平面A1MC． 即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)， 使DE∥平面A1MC． B组　能力提升 1.在四面体ABCD中，截面

11、PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的是(　　) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45° C　[因为截面PQMN是正方形， 所以MN∥PQ，则MN∥平面ABC， 由线面平行的性质知MN∥AC， 则AC∥截面PQMN， 同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM， 则AC⊥BD，故A，B正确． 又因为BD∥MQ，所以异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确．] 2．在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB和棱AA1的中点，点M，N分别为线段D1E，C1F上的点，则与

12、平面ABCD平行的直线MN有(　　) A．无数条 B．2条 C．1条 D．0条 A　[法一：取BB1的中点H，连接FH，则FH∥C1D1，连接HE，D1H，在D1E上任取一点M， 取D1E的中点O， 连接OH， 在平面D1HE中，作MG平行于HO，交D1H于G， 连接DE，取DE的中点K，连接KB，OK，则易证得OH∥KB. 过G作GN∥FH，交C1F于点N，连接MN，由于GM∥HO，HO∥KB，KB平面ABCD，GM平面ABCD， 所以GM∥平面ABCD， 同理，NG∥平面ABCD，又GM∩NG＝G， 由面面平行的判定定理得，平面MNG∥平面ABCD，则MN∥平

13、面ABCD. 由于M为D1E上任意一点，故与平面ABCD平行的直线MN有无数条．故选A． 法二：因为直线D1E，C1F与平面ABCD都相交，所以只需要把平面ABCD向上平移，与线段D1E的交点为M，与线段C1F的交点为N，由面面平行的性质定理知MN∥平面ABCD，故有无数条直线MN∥平面ABCD，故选A．] 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1.则以下四个说法： (1)MN∥平面APC； (2)C1Q∥平面APC； (3)A，P，M三点共线； (4)平面MNQ∥平面APC． 其中说法正确的是__

14、______．(填序号) (2)(3)　[(1)连接MN，AC，则MN∥AC，连接AM，CN， 易得AM，CN交于点P，即MN平面PAC，所以MN∥平面APC是错误的； (2)由(1)知M，N在平面APC上，由题易知AN∥C1Q， 所以C1Q∥平面APC是正确的； (3)由(1)知A，P，M三点共线是正确的； (4)由(1)知MN平面PAC， 又MN平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是错误的．] 4．(2018·长沙模拟)如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC＝AB＝1，B1C1∥BC，BC＝2B1C1. (1

15、)求证：AB1∥平面A1C1C； (2)求多面体ABCA1B1C1的体积． [解]　(1)证明：如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，C1D， ∵B1C1∥BC，BC＝2B1C1， ∴BD∥B1C1，BD＝B1C1，CD∥B1C1，CD＝B1C1， ∴四边形BDC1B1，CDB1C1是平行四边形， ∴C1D∥B1B，C1D＝B1B，CC1∥B1D， 又B1D平面A1C1C，C1C平面A1C1C， ∴B1D∥平面A1C1C． 在正方形ABB1A1中，BB1∥AA1，BB1＝AA1， ∴C1D∥AA1，C1D＝AA1， ∴四边形ADC1A1为平行四边形，∴AD∥A1C1

16、. 又AD平面A1C1C，A1C1平面A1C1C， ∴AD∥平面A1C1C， ∵B1D∩AD＝D，∴平面ADB1∥平面A1C1C， 又AB1平面ADB1，∴AB1∥平面A1C1C． (2)在正方形ABB1A1中，A1B＝， ∵△A1BC是等边三角形，∴A1C＝BC＝， ∴AC2＋AA＝A1C2，AB2＋AC2＝BC2，∴AA1⊥AC，AC⊥AB. 又AA1⊥AB，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥CD， 易得CD⊥AD，AD∩AA1＝A，∴CD⊥平面ADC1A1. 易知多面体ABCA1B1C1是由直三棱柱ABD­A1B1C1和四棱锥C­ADC1A1组成的， 直三棱柱ABD­A1B1C1的体积为××1＝， 四棱锥C­ADC1A1的体积为××1×＝， ∴多面体ABCA1B1C1的体积为＋＝. - 10 -