2020版高考数学一轮复习 课后限时集训7 二次函数与幂函数 理（含解析）北师大版

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1、课后限时集训(七)　二次函数与幂函数 (建议用时：60分钟) A组　基础达标 一、选择题 1．(2019·西安质检)函数y＝的图像大致是(　　) 　　 　　　 A　　　　　　　 B 　　 　　　 C　　　　　　　 D C　[∵y＝x，∴该函数是偶函数，且在第一象限内是上凸的，故选C.] 2．设α∈，则使幂函数y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上递增的α值的个数为(　　) A．3　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 A　[因为幂函数y＝xα在(0，＋∞)上递增，所以α＞0.又幂函数y＝xα为奇函数，可知α≠2

2、.当α＝时，其定义域关于原点不对称，应排除．当α＝，1,3时，其定义域关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x)．故α＝，1,3时，满足条件．故满足条件的α的值的个数为3.故选A.] 3．已知幂函数f(x)＝xα的图像过点，则函数g(x)＝(2x－1)f(x)在区间上的最小值是(　　) A．－1 B．0 C．－2 D. B　[由已知得3α＝，解得α＝－1，∴f(x)＝x－1， ∴g(x)＝＝2－在区间上递增，则g(x)min＝g＝0.] 4．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是(　　

3、) A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[0,4] D．(－∞，0]∪[4，＋∞) C　[由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图像的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0,2]上递增，则抛物线开口向下，且f(x)在[2,4]上是减函数， 所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.] 5．若f(x)＝ax2＋ax－1在R上满足f(x)＜0恒成立，则a的取值范围是(　　) A．a≤0 B．a＜－4 C．－4＜a＜0 D．－4＜a≤0 D　[①当a＝0时，得到－1＜0，显然不等式的解集为R； ②当a＜0时，二次函数y＝ax2＋ax－1开口向下，由不等式的

4、解集为R，得二次函数的图像与x轴没有交点，即Δ＝a2＋4a＜0，即a(a＋4)＜0，解得－4＜a＜0； ③当a＞0时，二次函数y＝ax2＋ax－1开口向上，函数值y不恒小于0，故解集为R不可能．] 二、填空题 6．已知点在幂函数y＝f(x)的图像上，点在幂函数y＝g(x)的图像上，则f(2)＋g(－1)＝________. 　[设f(x)＝xm，g(x)＝xn，则由2＝m得m＝－1，由＝(－2)n，得n＝－2， 所以f(2)＋g(－1)＝2－1＋(－1)－2＝.] 7．已知二次函数y＝x2＋2kx＋3－2k，则其图像的顶点位置最高时对应的解析式为________． y＝x2－2x

5、＋5　[y＝x2＋2kx＋3－2k＝(x＋k)2－k2－2k＋3，所以图像的顶点坐标为(－k，－k2－2k＋3)． 因为－k2－2k＋3＝－(k＋1)2＋4，所以当k＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y＝x2－2x＋5.] 8．已知函数y＝f(x)是偶函数，当x＞0时，f(x)＝(x－1)2，若当x∈时，n≤f(x)≤m恒成立，则m－n的最小值为________． 1　[当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2. ∵x∈， ∴f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1， ∴m≥1，n≤0，m－n≥1，∴m－n的最小值是1.] 三、解答

6、题 9．若函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围． [解]　 作出函数y＝x2－2x＋3的图像如图． 由图像可知，要使函数在[0，m]上取得最小值2，则1∈[0，m]，从而m≥1， 当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝3， 所以要使函数取得最大值3，则m≤2， 故所求m的取值范围为[1,2]． 10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[－1,1]时，函数y＝f(x)的图像恒在函数y＝2x＋m的图像的上方，求实数m的取值范围． [解]　(1)设f(x)

7、＝ax2＋bx＋1(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x. 所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1， 因此f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋1. (2)因为当x∈[－1,1]时，y＝f(x)的图像恒在y＝2x＋m的图像上方， 所以在[－1,1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立， 即x2－3x＋1＞m在区间[－1,1]上恒成立． 所以令g(x)＝x2－3x＋1＝2－， 因为g(x)在[－1,1]上的最小值为g(1)＝－1， 所以m＜－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1)． B组　能力提升 1．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax

8、2＋bx＋c的图像可能是(　　) 　　　　　　 A　　　　　　　　B 　　　　　　 C　　　　　　　　D D　[由A，C，D知，f(0)＝c＜0.∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．故选D.] 2．(2017·浙江高考)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m(　　) A．与a有关，且与b有关 B．与a有关，但与b无关 C．与a无关，且与b无关 D．与a无关，但与b有关 B　[法一：设x1，

9、x2分别是函数f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m＝x＋ax1＋b，M＝x＋ax2＋b. ∴M－m＝x－x＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关． 故选B. 法二：由题意可知，函数f(x)的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定．随着b的变动，相当于图像上下移动，若b增大k个单位，则最大值与最小值分别变为M＋k，m＋k，而(M＋k)－(m＋k)＝M－m，故与b无关．随着a的变动，相当于图像左右移动，则M－m的值在变化，故与a有关． 故选B.] 3．已知对于任意的x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x2－2(a－2)x＋a＞0，则实数a的取值范围是______

10、__． (1,5]　[Δ＝4(a－2)2－4a＝4a2－20a＋16＝4(a－1)(a－4)． (1)若Δ＜0，即1＜a＜4时，x2－2(a－2)x＋a＞0在R上恒成立，符合题意； (2)若Δ＝0，即a＝1或a＝4时，方程x2－2(a－2)x＋a＞0的解为x≠a－2， 显然当a＝1时，不符合题意，当a＝4时，符合题意； (3)当Δ＞0，即a＜1或a＞4时，因为x2－2(a－2)x＋a＞0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立， 所以解得3＜a≤5， 又a＜1或a＞4，所以4＜a≤5. 综上，a的取值范围是(1,5]．] 4．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f

11、(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示． (1)请补全函数f(x)的图像并根据图像写出函数f(x)(x∈R)的增区间； (2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式； (3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值． [解]　(1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上递增． (2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x， 所以f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)， 所以f(x)＝ (3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1， 当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值； 当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值； 当a＋1＞2，即a＞1时，g(2)＝2－4a为最小值． 综上，g(x)min＝ - 6 -