2020版高考数学一轮复习 课后限时集训22 三角恒等变换 理（含解析）新人教A版

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1、课后限时集训(二十二)　三角恒等变换 (建议用时：60分钟) A组　基础达标 一、选择题 1．(2018·南宁二模)已知cos 2α＝，则tan2α＝(　　) A.　　　 B．2 C. D. D　[∵cos 2α＝cos2α－sin2α＝， ∴＝， 即＝，∴tan2α＝.] 2．(2019·湖北模拟)已知α∈，cos＝，则sin α的值等于(　　) A. B. C. D．－ C　[由题可知sin＝＝，则sin α＝－cos＝sinsin －coscos ＝×－×＝，故选C.] 3．已知α，β均为锐角，且sin 2α＝2sin 2β，则(　　) A．ta

2、n(α＋β)＝3tan(α－β) B．tan(α＋β)＝2tan(α－β) C．3tan(α＋β)＝tan(α－β) D．3tan(α＋β)＝2tan(α－β) A　[法一：因为2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，sin 2α＝2sin 2β， 所以sin[(α＋β)＋(α－β)]＝2sin[(α＋β)－(α－β)]， 展开，可得sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝2[sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)]， 整理得sin(α＋β)cos(α－β)＝3cos(α＋β)sin(α－β)， 两边同

3、时除以cos(α＋β)cos(α－β)，得tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A. 法二：因为sin 2α＝2sin 2β， 所以＝ ＝＝＝3，即tan(α＋β)＝3tan(α－β)，故选A.] 4．已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为(　　) A．－ B. C．－ D. A　[因为sin α＝＋cos α，即sin α－cos α＝，所以＝ ＝＝＝－，故选A.] 5．设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＞b＞c B．b＞a＞c

4、 C．c＞a＞b D．a＞c＞b D　[∵a＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(127°－50°)＝cos 77°＝sin 13°， b＝(sin 56°－cos 56°)＝sin(56°－45°)＝sin 11°， c＝＝＝cos 78°＝sin 12°， 又sin x在上单调递增， ∴sin 11°＜sin 12°＜sin 13° 即b＜c＜a，故选D.] 二、填空题 6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β的值为________． 　[因为cos(α＋β)＝， 所以cos αcos β－sin

5、αsin β＝① 因为cos(α－β)＝， 所以cos αcos β＋sin αsin β＝② ①＋②得cos αcos β＝. ②－①得sin αsin β＝. 所以tan αtan β＝＝.] 7．已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，若α，β是锐角，则β＝________. 　[sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β是锐角， 则cos α＝，sin(α＋β)＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝， 所以β＝.] 8．(2019·长春质检)函数f(x)＝sin＋sin x的最大值为________

6、． 　[函数f(x)＝sin＋sin x ＝sin x＋cos x＋sin x ＝sin x＋cos x ＝ ＝sin≤. 故最大值为.] 三、解答题 9．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P. (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值． [解]　(1)由角α的终边过点P，得sin α＝－， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝. (2)由角α的终边过点P，得cos α＝－， 由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±. 由β＝(α＋β)－α，得 cos β＝co

7、s(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－或cos β＝. 10．(2019·温州模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若－＜α＜0，f(α)＝，求sin 2α的值． [解]　(1)∵函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x ＝sin 2x＋ ＝sin＋， ∴函数f(x)的最小正周期为＝π. (2)若－＜α＜0， 则2α＋∈， ∴f(α)＝sin＋＝， ∴sin＝， ∴2α＋∈， ∴cos ＝＝， ∴sin 2α＝sin＝sincos －cossin ＝×－×＝.

8、 B组　能力提升 1．已知函数f(x)＝sin x＋cos x在x＝θ时取得最大值，则cos＝(　　) A．－ B．－ C. D. C　[法一：∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C. 法二：∵f(x)＝sin x＋cos x， ∴f′(x)＝cos x－sin x. 又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴f′(θ)＝cos θ－sin θ＝0，即tan θ＝，则cos＝(cos 2θ－sin 2θ)＝×＝，故选C.] 2．4cos 5

9、0°－tan 40°＝(　　) A. B. C. D．2－1 C　[借助商数关系，三角恒等变换及角度拆分求解． 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－ ＝＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝＝·＝.] 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________． －　[因为f(x)＝2sin x＋sin 2x， 所以f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cos x－2＝4(cos ＋1)， 由f′(x)≥0得≤cos x≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z， 由f′(x)≤0得－1≤cos

10、 x≤，2kπ＋≤x≤2kπ＋π或2kπ－π≤x≤2kπ－，k∈Z， 所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值， 且f(x)min＝f＝2sin＋sin 2＝－.] 4．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sin ωxcos ωx(0＜ω＜1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴． (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sin α的值． [解]　(1)f(x)＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝2sin， 由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴， 所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)， 解得ω＝k＋(k∈Z)， 又0＜ω＜1，所以ω＝， 所以f(x)＝2sin. 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)． (2)由题意可得g(x)＝2sin， 即g(x)＝2cos ， 由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝， 又α∈，故＜α＋＜， 所以sin＝， 所以sin α＝sin ＝sincos －cossin ＝×－×＝. - 7 -