2020版高考数学一轮复习 课后限时集训22 正弦定理与余弦定理、三角形中的几何计算 文（含解析）北师大版

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1、课后限时集训(二十二)　 (建议用时：60分钟) A组　基础达标 一、选择题 1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是(　　) A．直角三角形　　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 B　[法一：由已知得2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B. 法二：由正弦定理得2acos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.] 2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C

2、＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 C　[由正弦定理得＝， ∴sin B＝＝＝＞1. ∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．] 3．(2016·天津高考)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 A　[由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos 120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A．] 4．(2019·长春模拟)△ABC中，AB＝，A

3、C＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积等于(　　) A． B． C．或 D．或 D　[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， 即1＝3＋BC2－3BC，解得BC＝1或BC＝2， 当BC＝1时，△ABC的面积S＝AB·BCsin B＝××1×＝. 当BC＝2时，△ABC的面积S＝AB·BCsin B＝××2×＝. 总上之，△ABC的面积等于或.] 5．(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝(　　) A． B． C． D． D　[过A作AD⊥BC于D，设BC＝a，由已知得AD＝.∵B＝，∴AD＝BD，∴BD＝AD

4、＝，DC＝a， ∴AC＝＝a，在△ABC中，由正弦定理得＝， ∴sin ∠BAC＝，故选D.] 二、填空题 6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________. 4　[由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，所以b＝a＝3.由余弦定理cos C＝，得－＝，解得c＝4.] 7．(2019·青岛模拟)如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________． 　[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠B

5、AD＝， ∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD， ∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3， ∴BD＝.] 8．设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2sin C＝4sin A，(ca＋cb)(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)，则△ABC的面积为________． 　[由a2sin C＝4sin A得ac＝4，由(ca＋cb)·(sin A－sin B)＝sin C(2－c2)得(a＋b)(a－b)＝2－c2，即a2＋c2－b2＝2，所以cos B＝，则sin B＝，所以S△ABC＝acsin B＝.] 三、解答题

6、9．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sin Asin C． (1)若a＝b，求cos B； (2)设B＝90°，且a＝，求△ABC的面积． [解]　(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac. 又a＝b，可得b＝2c，a＝2c. 由余弦定理可得cos B＝＝. (2)由(1)知b2＝2ac. 因为B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2， 故a2＋c2＝2ac，进而可得c＝a＝. 所以△ABC的面积为××＝1. 10．(2019·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)． (1

7、)求角B的大小； (2)若b＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长． [解]　(1)∵bcos A＝(2c＋a)cos(π－B)，∴bcos A＝(2c＋a)(－cos B)． 由正弦定理可得，sin Bcos A＝(－2sin C－sin A)cos B， 即sin(A＋B)＝－2sin Ccos B＝sin C． 又角C为△ABC的内角，∴sin C＞0， ∴cos B＝－. 又B∈(0，π)，∴B＝. (2)由S△ABC＝acsin B＝，得ac＝4. 又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16. ∴a＋c＝2，∴△ABC的周长为4＋2. B组　能力提升

8、 1．(2019·佛山模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝2，且C＝，则△ABC的面积为(　　) A．＋1　　　B.－1　　　C．4　　　D．2 A　[法一：由余弦定理可得(2)2＝22＋a2－2×2×a×cos，即a2－2a－4＝0，解得a＝＋或a＝－(舍去)，△ABC的面积S＝absin C＝×2×(＋)sin＝×2××(＋)＝＋1，选A． 法二：由正弦定理＝，得sin B＝＝，又c＞b，且B∈(0，π)，所以B＝，所以A＝，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×2sin＝×2×2×＝＋1.] 2．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°

9、，则BC边上的高为(　　) A． B． C． D． B　[在△ABC中，由余弦定理可得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B，因为AC＝，BC＝2，B＝60°，所以7＝AB2＋4－4×AB×，所以AB2－2AB－3＝0，所以AB＝3，作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt△ADB中，AD＝AB×sin 60°＝，即BC边上的高为，故选B.] 3．(2019·宝鸡模拟)如图，在Rt△ABC中，两条直角边分别为AB，BC，且AB＝2，BC＝2，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.若PB＝1，则PA＝________. 　[依题意，在Rt△ABC中，AC＝＝4，sin∠AC

10、B＝＝，所以∠ACB＝60°.在Rt△PBC中，PC＝＝，sin∠PCB＝＝，∠PCB＝30°，因此∠ACP＝∠ACB－∠PCB＝30°.在△ACP中，AP＝＝.] 4．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,1＋＝. (1)求角A的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，求函数y＝2sin2B－2sin Bcos C的取值范围； (3)现在给出下列三个条件：①a＝1；②2c－(＋1)b＝0；③B＝，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积． [解]　(1)因为1＋＝，所以由正弦定理，得1＋＝＝. 因为A＋B＋C＝π，所以sin(

11、A＋B)＝sin C， 所以＝， 所以cos A＝，故A＝. (2)因为A＋B＋C＝π，A＝， 所以B＋C＝. 所以y＝2sin2B－2sin Bcos C ＝1－cos 2B－2sin Bcos ＝1－cos 2B＋sin Bcos B－sin2B ＝1－cos 2B＋sin 2B－＋cos 2B ＝＋sin 2B－cos 2B ＝sin＋. 又△ABC为锐角三角形， 所以＜B＜⇒＜2B－＜， 所以＜sin＜1， 所以y＝sin＋∈. (3)法一：选择①②，可确定△ABC． 因为A＝，a＝1,2c－(＋1)b＝0， 由余弦定理，得12＝b2＋2－2b·b·， 整理得b2＝2，b＝，c＝， 所以S△ABC＝bcsin A＝×××＝. 法二：选择①③，可确定△ABC． 因为B＝，所以C＝. 又sin＝sin＝sincos＋cossin＝， 故由正弦定理得c＝＝＝， 所以S△ABC＝acsin B＝×1××＝. - 7 -