2020版高考数学一轮复习 课后限时集训26 平面向量的数量积与平面向量应用举例 理（含解析）新人教A版

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1、课后限时集训(二十六)　平面向量的数量积与平面向量应用举例 (建议用时：60分钟) A组　基础达标 一、选择题 1．(2018·陕西二模)已知向量a＝(2,3)，b＝(x,4)．若a⊥(a－b)，则x＝(　　) A．1　　B.　　C．2　　 D．3 B　[由题意，得a－b＝(2－x，－1)．因为a⊥(a－b)，所以2×(2－x)＋3×(－1)＝0，解得x＝，故选B.] 2．已知向量a＝(x2，x＋2)，b＝(－，－1)，c＝(1，)，若a∥b，则a与c夹角为(　　) A. B. C. D. A　[cos〈b，c〉＝＝＝－，又由x2≥0且a∥b得a，b是反向共线，则cos

2、〈a，c〉＝－cos〈b，c〉＝，〈a，c〉∈[0，π]，则〈a，c〉＝，故选A.] 3．(2019·西宁模拟)如图在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，请设法计算·＝(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 B　[以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，＝(4,1)，＝＝(2,3)，∴·＝4×2＋1×3＝11，故选B.] 4．(2019·银川模拟)在正方形ABCD中，点E为BC的中点，若点F满足＝λ，且·＝0，则λ＝(　　) A. B. C. D. A　[以A为坐标原点，AB，AD所在

3、直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形ABCD的边长为2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，E(2,1)，由于＝λ，则点F在直线AC上，设F(a，a)，那么·＝(2,1)·(a－2，a)＝3a－4＝0，解得a＝，结合＝λ，可得＝2λ，解得λ＝，故选A.] 5．已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋c)·(2b－c)的最小值为(　　) A．－2 B．－ C．－1 D．0 B　[因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝，所以〈a，b〉＝.不妨设a＝(1,0)，b＝，c＝(cos θ，s

4、in θ)，则(a＋c)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b·c－c2＝1－cos θ＋2－1＝sin θ，所以(a＋c)·(2b－c)的最小值为－，故选B.] 二、填空题 6．(2019·青岛模拟)已知向量a，b满足|b|＝5，|a＋b|＝4，|a－b|＝6，则向量a在向量b上的投影为________． －1　[设向量a，b的夹角为θ，则|a＋b|2＝|a|2＋2|a||b|cos θ＋|b|2＝|a|2＋10|a|cos θ＋25＝16，|a－b|2＝|a|2－2|a||b|cos θ＋|b|2＝|a|2－10|a|cos θ＋25＝36，两式相减整理得|a|cos θ＝－1，即向

5、量a在向量b上的投影为|a|cos θ＝－1.] 7．(2018·南昌一模)平面向量a＝(1，m)，b＝(4，m)，若有(2|a|－|b|)(a＋b)＝0，则实数m＝________. ±2　[由题意可得a＋b≠0，则2|a|＝|b|，即4(1＋m2)＝16＋m2，解得m2＝4，m＝±2.] 8．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n与tm－n夹角为钝角，则实数t的取值范围是________． (－∞，0)∪(0,4)　[∵n与(tm－n)夹角为钝角， ∴n·(tm－n)＜0且n与(tm－n)不共线． ∴又m·n＝|m||n|cos〈m，n〉＝n2×＝n

6、2. 即n2－n2＜0且t≠0，∴t＜4且t≠0.] 三、解答题 9．(2017·江苏高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． [解]　(1)因为a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x. 若cos x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾， 故cos x≠0. 于是tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3

7、，－) ＝3cos x－sin x＝2cos. 因为x∈[0，π]，所以x＋∈， 从而－1≤cos≤. 于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取到最大值3； 当x＋＝π，即x＝时，f(x)取到最小值－2. 10．已知|a|＝2，|b|＝1. (1)若a⊥b，求(2a－b)·(a＋b)的值； (2)若不等式|a＋xb|≥|a＋b|对一切实数x恒成立，求a与b夹角的大小． [解]　(1)∵a⊥b， ∴a·b＝0， ∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝7. (2)设向量a，b的夹角为θ，则 a·b＝|a||b|cos θ＝2cos θ. 不等式|a＋xb|≥|

8、a＋b|两边平方可得： a2＋2a·bx＋x2b2≥a2＋2a·b＋b2， 即：4＋4xcos θ＋x2≥4＋4cos θ＋1. 整理得： x2＋4xcos θ－4cos θ－1≥0.(*) 因为不等式对一切实数x恒成立， 则Δ＝16cos2θ＋4(4cos θ＋1) ＝4(4cos2θ＋4cos θ＋1) ＝4(2cos θ＋1)2≤0， ∴2cos θ＋1＝0， 即cos θ＝－. 又θ∈[0，π]， ∴θ＝π. B组　能力提升 1．(2018·石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　) A.　　 　

9、B.　　 　C.　　 　D. A　[由|a＋b|＝|a－b|知，a·b＝0，所以a⊥b.将|a－b|＝2|b|两边平方，得|a|2－2a·b＋|b|2＝4|b|2，所以|a|2＝3|b|2，所以|a|＝|b|，所以cos〈a＋b，a〉＝＝＝＝，所以向量a＋b与a的夹角为，故选A.] 2．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　) A. B. C. D．3 A　[以D为原点建立平面直角坐标系，如图所示． 连接AC，易知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠

10、ACB＝30°， ∴D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)． 设E(0，y)(0≤y≤)， 则＝(－1，y)， ＝， ∴·＝＋y2－y＝2＋， ∴当y＝时，·有最小值，故选A.] 3．在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，a＋c＝3，cos B＝，则·＝________. －　[由a，b，c成等比数列得ac＝b2，在△ABC中，由余弦定理可得cos B＝＝，则＝，解得ac＝2， 则·＝accos(π－B)＝－accos B＝－.] 4．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，||＝1，且∠AOC＝θ，其中O为坐

11、标原点． (1)若θ＝π，设点D为线段OA上的动点，求|＋|的最小值； (2)若θ∈，向量m＝，n＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m·n的最小值及对应的θ值． [解]　(1)设D(t,0)(0≤t≤1)， 由题意知C， 所以＋＝， 所以|＋|2＝－t＋t2＋ ＝t2－t＋1＝2＋， 所以当t＝时，|＋|最小，为. (2)由题意得C(cos θ，sin θ)，m＝＝(cos θ＋1，sin θ)， 则m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－sin， 因为θ∈， 所以≤2θ＋≤， 所以当2θ＋＝， 即θ＝时，sin取得最大值1. 所以m·n的最小值为1－，此时θ＝. - 6 -