2020版高考数学一轮复习 课后限时集训39 直线、平面平行的判定及其性质 理（含解析）新人教A版

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1、课后限时集训(三十九)　直线、平面平行的判定及其性质 (建议用时：60分钟) A组　基础达标 一、选择题 1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　) A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α与直线l至少有两个公共点 D．α内的直线与l都相交 B　[∵，且l与α不平行，∴l∩α＝P，故α内不存在与l平行的直线．故选B.] 2.如图所示的三棱柱ABC­A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是(　　) A．异面　　　 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 B　[由面面平行的性质可得DE∥A1B1，又A1

2、B1∥AB， 故DE∥AB.所以选B.] 3．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是(　　) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n D　[选项A中，两直线可能平行，相交或异面，故选项A错误；选项B中，两平面可能平行或相交，故选项B错误；选项C中，两平面可能平行或相交，故选项C错误；选项D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确．故选D.] 4.如图，AB∥平面α∥平面β，过A，B的直线m，n分别交α，β于C，E和D，F，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，则BD

3、的长为(　　) A. B. C. D. C　[由AB∥α∥β，易证＝， 即＝， 所以BD＝＝＝.] 5．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．0条或2条 C　[如图，设平面α截三棱锥所得的四边形EFGH是平行四边形，则EF∥GH，EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，则EF∥CD，EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，则CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以该三棱锥与平面α平行的棱有2条，故选C.] 二、填

4、空题 6．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________． ①和③　[由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．] 7.如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________． 　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A

5、B＝2， ∴AC＝2. 又E为AD中点，EF∥平面AB1C，EF⊂平面ADC， 平面ADC∩平面AB1C＝AC， ∴EF∥AC，∴F为DC中点，∴EF＝AC＝.] 8．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO. Q为CC1的中点　[当Q为CC1的中点时，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB(图略)，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，

6、所以平面D1BQ∥平面PAO.] 三、解答题 9.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证： (1)BF∥HD1； (2)EG∥平面BB1D1D； (3)平面BDF∥平面B1D1H. [证明]　(1)如图所示，取BB1的中点M，连接MH，MC1，易证四边形HMC1D1是平行四边形， ∴HD1∥MC1. 又∵MC1∥BF， ∴BF∥HD1. (2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE綊DC， 又D1G綊DC，∴OE綊D1G， ∴四边形OEGD1是平行四边形， ∴GE∥D1O. 又GE⊄平面BB1

7、D1D，D1O⊂平面BB1D1D， ∴EG∥平面BB1D1D. (3)由(1)知BF∥HD1， 又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面B1D1H， BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1， DB∩BF＝B， ∴平面BDF∥平面B1D1H. 10.(2019·惠州模拟)如图所示，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，点O为CD的中点． (1)求证：OM∥平面ABD； (2)若AB＝BC＝2，求三棱锥M­ABD的体积． [解]　(1)∵△CMD是等腰直角三角形，∠CMD＝90

8、°，点O为CD的中点，∴OM⊥CD. ∵平面CMD⊥平面BCD，平面CMD∩平面BCD＝CD， OM⊂平面CMD， ∴OM⊥平面BCD. ∵AB⊥平面BCD，∴OM∥AB. ∵AB⊂平面ABD，OM⊄平面ABD， ∴OM∥平面ABD. (2)法一：由(1)知OM∥平面ABD， ∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离． ∵AB＝BC＝2，△BCD是等边三角形，点O为CD的中点，连接BO，如图， ∴S△BOD＝S△BCD＝××BC×CD×sin 60°＝××2×2×＝. 连接AO，则VM­ABD＝VO­ABD＝VA­BOD＝S△BOD×AB＝××2＝. 故三棱锥

9、M­ABD的体积为. 法二：由(1)知OM∥平面ABD， ∴点M到平面ABD的距离等于点O到平面ABD的距离． 如图，过O作OH⊥BD，垂足为点H， ∵AB⊥平面BCD，OH⊂平面BCD， ∴OH⊥AB. ∵AB⊂平面ABD，BD⊂平面ABD，AB∩BD＝B， ∴OH⊥平面ABD. ∵AB＝BC＝2，△BCD是等边三角形， ∴BD＝2，OD＝1，OH＝OD·sin 60°＝. ∴V三棱锥M­ABD＝××AB×BD×OH＝××2×2×＝. ∴三棱锥M­ABD的体积为. B组　能力提升 1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，

10、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(　　) A　[A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB. ∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交， ∴直线AB与平面MNQ相交． B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ， ∴AB∥MQ. 又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ. D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ， ∴AB∥NQ. 又A

11、B⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故选A.] 2.如图所示，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题： ①没有水的部分始终呈棱柱形； ②水面EFGH所在四边形的面积为定值； ③棱A1D1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[由题图，显然①正确，②错误； 对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG， ∴A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，FG⊂平面E

12、FGH， ∴A1D1∥平面EFGH(水面)． ∴③正确； 对于④，∵水是定量的(定体积V)， ∴S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V. ∴BE·BF＝(定值)，即④正确，故选C.] 3.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1. M∈线段HF　[如图所示，连接FH，HN，FN，由题意知 HN∥平面B1BDD1， FH∥平面B1BDD1， 又HN∩FH＝H， ∴平面NHF∥平面B1BDD1，

13、∴当M在线段HF上运动时，有MN∥平面B1BDD1.] 4.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围． [解]　(1)证明：∵四边形EFGH为平行四边形， ∴EF∥HG. ∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又∵EF⊂平面ABC， 平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH， EF⊂平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 同理可证，CD∥平面EFGH. (2)设EF＝x(0＜x＜4)， ∵EF∥AB，FG∥CD， ∴＝， 则＝＝＝1－. ∴FG＝6－x. ∵四边形EFGH为平行四边形， ∴四边形EFGH的周长 l＝2＝12－x. 又∵0＜x＜4，∴8＜l＜12， 即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12)． - 6 -