2020版高考数学一轮复习 课后限时集训28 数列的概念与简单表示法（含解析）理

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1、课后限时集训(二十八) (建议用时：60分钟) A组　基础达标 一、选择题 1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an等于( ) A. B．cos C．cosπ D．cosπ [答案]　D 2．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝( ) A．2n B．2n－1 C．2n D．2n－1 C　[当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1，所以数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n.

2、] 3．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝( ) A. B. C. 　D. A　[由题意知a1·a2＝4，a1·a2·a3＝9，a1a2a3a4＝16，a1a2a3a4a5＝25，则a3＝，a5＝，则a3＋a5＝，故选A.] 4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n－1，则数列{an}的一个通项公式为( ) A．an＝n－1 B．an＝(n－1)2 C．an＝(n－1)3 D．an＝(n－1)4 B　[由题意知an－an－1＝2n－3(

3、n≥2)， 则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1 ＝＝(n－1)2.故选B.] 5．若数列{an}满足a1＝，an＝1－(n≥2，且n∈N*)，则a2 018等于( ) A．－1 B. C．1 D．2 A　[a1＝，a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，…. 因此数列{an}是以3为周期的数列． 从而a2 018＝a2＝－1，故选A.] 二、填空题 6．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式an＝________. n

4、－1　[当n＝1时，a1＝S1＝. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－(n－1)2－(n－1)＝－1. 又a1＝适合上式，则an＝n－1.] 7．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________. 　[由an＝an－1得＝， ∴an＝××…××a1 ＝××…××1＝. 当n＝1时，a1＝1适合上式． 故an＝.] 8．(2019·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10＝________. 256　[因为a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，所以Sn＋1－1＝2(

5、Sn－1)，所以{Sn－1}是等比数列，且公比为2，所以Sn－1＝2n－1，所以Sn＝2n－1＋1，所以a10＝S10－S9＝29－28＝256.] 三、解答题 9．已知数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an； (2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an. [解]　(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)， 又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋

6、1·(2n－1)． (2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2. 由于a1不适合此式，所以an＝ 10．已知Sn为正项数列{an} 的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)， 可得a1＝a＋a1，解得a1＝1； S2＝a1＋a2＝a＋a2， 解得a2＝2； 同理a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝a＋an，① 当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②

7、①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1， 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. B组　能力提升 1．已知各项都为正数的数列{an}满足a－an＋1an－2a＝0，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为( ) A．an＝2n－1 B．an＝3n－1 C．an＝2n D．an＝3n C　[∵a－an＋1an－2a＝0， ∴(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0. ∵数列{an}的各项均为正数， ∴an＋1＋an＞0， ∴an＋1－2an＝0， 即

8、an＋1＝2an(n∈N*)， ∴数列{an}是以2为公比的等比数列． ∵a1＝2，∴an＝2n.] 2．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为( ) A．an＝n B．an＝n2 C．an＝ D．an＝ B　[∵＋＋…＋＝， ∴＋＋…＋＝(n≥2)， 两式相减得＝－＝n(n≥2)，∴an＝n2(n≥2)，① 又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，∴an＝n2，n∈N*.故选B.] 3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝3Sn，则an＝__________. 　[由an＋1＝3Sn，得an＝3S

9、n－1(n≥2)， 两式相减可得an＋1－an＝3Sn－3Sn－1＝3an(n≥2)， ∴an＋1＝4an(n≥2)． ∵a1＝1，a2＝3S1＝3≠4a1， ∴数列{an}是从第二项开始的等比数列， ∴an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)． 故an＝] 4．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围． [解]　(1)由n2－5n＋4<0， 解得1an知该数列是一个递增数列， 又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－<，即得k>－3. 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)． - 5 -