2020版高考数学一轮复习 课后限时集训8 指数与指数函数 理（含解析）新人教A版

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1、课后限时集训(八)　指数与指数函数 (建议用时：60分钟) A组　基础达标 一、选择题 1．设a＞0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是(　　) A．a　　 B．a C．a D．a C　[＝＝＝＝a＝a.故选C.] 2．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a A　[由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c.因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.] 3．函数y＝(0＜a＜1)的图象的大致

2、形状是(　　) A　　　 　　B C　　　 　　D D　[函数的定义域为{x|x≠0}，所以y＝＝当x＞0时，函数是指数函数，其底数0＜a＜1，所以函数递减；当x＜0时，函数图象与指数函数y＝ax(x＜0)的图象关于x轴对称，函数递增，所以应选D.] 4．若2x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是(　　) A. B. C. D．[2，＋∞) B　[因2x2＋1≤x－2＝24－2x，则x2＋1≤4－2x，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，所以≤y≤2.] 5．若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，＋∞) B．(－

3、2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞) D　[不等式2x(x－a)＜1可变形为x－a＜x.在同一平面直角坐标系中作出直线y＝x－a与y＝x的图象．由题意知，在(0，＋∞)内， 直线有一部分在y＝x图象的下方． 由图可知，－a＜1，所以a＞－1.] 二、填空题 6．计算：×0＋8×－＝________. 2　[原式＝×1＋2×2－＝2.] 7．已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)．若f(x)在[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是________． (－∞，4]　[令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间上单调递增，在区间上单调递减．而y＝2t在R

4、上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．] 8．(2019·西安八校联考)设函数f(x)＝则满足f(x)＋f(x－1)＞1的x的取值范围是________． (0，＋∞)　[画出函数f(x)的大致图象如图，易知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．又x＞x－1，且x－(x－1)＝1，f(0)＝1，所以要使f(x)＋f(x－1)＞1成立，则结合函数f(x)的图象知只需x－1＞－1，解得x＞0.故所求x的取值范围是(0，＋∞)．] 三、解答题 9．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a＞0，

5、a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)． (1)求f(x)的表达式； (2)若不等式x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． [解]　(1)因为f(x)的图象过A(1,6)，B(3,24)，所以所以a2＝4，又a＞0，所以a＝2，b＝3. 所以f(x)＝3·2x. (2)由(1)知a＝2，b＝3，则x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，即m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立． 又因为y＝x与y＝x均为减函数，所以y＝x＋x也是减函数， 所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值.所以m≤. 即m的取值范围是. 10．已知函数f(x)＝－＋3(－1≤x≤

6、2)． (1)若λ＝，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)的最小值是1，求实数λ的值． [解]　(1)f(x)＝－＋3 ＝2x－2λ·x＋3(－1≤x≤2)． 设t＝x， 得g(t)＝t2－2λt＋3. 当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋3 ＝2＋. 所以g(t)max＝g＝， g(t)min＝g＝. 所以f(x)max＝，f(x)min＝， 故函数f(x)的值域为. (2)由(1)得g(t)＝t2－2λt＋3 ＝(t－λ)2＋3－λ2， ①当λ≤时，g(t)min＝g＝－＋， 令－＋＝1，得λ＝＞，不符合，舍去； ②当＜λ≤2时，g(t)min＝g(λ

7、)＝－λ2＋3， 令－λ2＋3＝1，得 λ＝； ③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7， 令－4λ＋7＝1，得λ＝＜2，不符合，舍去． 综上所述，实数λ的值为. B组　能力提升 1．设函数f(x)＝x(ex＋e－x)，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 A　[∵f(－x)＝－x(e－x＋ex)＝－[x(e－x＋ex)]＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． 任取x2＞x1＞0，则ex2－ex1＞0，ex2＋

8、x1＞1， ex2＋e－x2－(ex1＋e－x1)＝(ex2－ex1)＞0， f(x2)＞f(x1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上递增，故选A.] 2．设函数f(x)＝则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是(　　) A. B．[0,1] C. D．[1，＋∞) C　[令f(a)＝t，则f(t)＝2t. 当t＜1时，3t－1＝2t，令g(t)＝3t－1－2t，则g′(t)＝3－2tln 2，当t＜1时，g′(t)＞0，g(t)在(－∞，1)上单调递增，即g(t)＜g(1)＝0，则方程3t－1＝2t无解． 当t≥1时，2t＝2t成立，由f(a)≥1，即当a＜1时

9、，3a－1≥1，解得≤a＜1；或a≥1时，2a≥1，解得a≥1. 综上可得a的取值范围是a≥.] 3．若32＋2x－3x2＋x＞2＋2x－x2＋x，则x的取值范围是________． (－1,2)　[∵32＋2x－3x2＋x＞2＋2x－x2＋x， ∴32＋2x－2＋2x＞3x2＋x－x2＋x，(*) 观察知，不等式两边结构相同，故构造函数F(t)＝3t－t，则F(t)为R上的单调增函数，而(*)式可以写成，F(2＋2x)＞F(x2＋x)，根据F(x)单调递增，得2＋2x＞x2＋x，即x2－x－2＜0，解得x∈(－1,2)．] 4．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求

10、a，b的值； (2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0. [解]　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1， 所以f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋. 由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数(此处可用定义或导数法证明函数f(x)在R上是减函数)． 又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)． 所以t2－2t＞－2t2＋1，即3t2－2t－1＞0. 解得t＞1或t＜－，所以该不等式的解集为. - 6 -