2020版高考数学二轮复习 专题限时集训4 数列求和与综合问题 理

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1、专题限时集训(四)　数列求和与综合问题 [专题通关练] (建议用时：30分钟) 1．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12　　　　　　　 B．10 C．8 D．2＋log35 B　[由等比数列的性质，知a5a6＝a4a7＝9，所以log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝log3(a1a2a3…a10) ＝log3(a5a6)5＝log395＝10，故选B.] 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　) A．2n－1 B.

2、 C. D. B　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，且Sn＝2an＋1， ∴Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即＝. ∴{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，即Sn＝.] 3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　) A．－ B. C．－ D. A　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，∴a＋＝， ∴a＝－.故选A.] 4．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，则S13＝(　　) A. B. C. D. D　[由题意，∵

3、a1＝2， n＝2时，a2＋a3＝22，n＝4时，a4＋a5＝24， n＝6时，a6＋a7＝26，n＝8时，a8＋a9＝28， n＝10时，a10＋a11＝210，n＝12时，a12＋a13＝212， S13＝2＋22＋24＋26＋28＋210＋212＝2＋＝.故选D.] 5．(2019·衡水模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 C　[在等比数列中，因为Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21， 所以am＝Sm－Sm－1＝－11－5＝－16，am＋1＝Sm＋1－Sm＝32.

4、则公比q＝＝＝－2，因为Sm＝－11， 所以＝－11， ① 又am＋1＝a1(－2)m＝32， ② 两式联立解得m＝5，a1＝－1.] 6．[一题多解]设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝4，an＋1＝Sn，n∈N*，则a5＝________. 32　[法一：由an＋1＝Sn，得Sn＋1－Sn＝Sn，则Sn＋1＝2Sn.又S1＝a1＝4，所以数列{Sn}是首项为4，公比为2的等比数列，所以Sn＝4×2n－1＝2n＋1，则a5＝S5－S4＝26－25＝32. 法二：当n≥2时，由an＋1＝Sn，得an＝Sn－1，两式相减，得an＋1－an＝an，即an＋1＝2an，所以数列{

5、an}是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a2＝S1＝4，所以a5＝a2·23＝4×23＝32.] 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，记Tn＝＋＋…＋(n∈N*)，则T2 020＝________. 　[由an＋2－2an＋1＋an＝0可知数列{an}是等差数列， 则公差d＝a2－a1＝2－1＝1. ∴Sn＝na1＋d＝n＋＝. ∴＝＝＝2， ∴Tn＝21－＋－＋…＋－＝21－， ∴T2 020＝2＝.] 8．设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为1，公差为d(d≠0)的

6、等差数列{an}为“和谐数列”，则该等差数列的公差d＝________. 2　[由＝k(k为常数)，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0， ∵对任意正整数n，上式恒成立， ∴得∴数列{an}的公差为2.] [能力提升练] (建议用时：20分钟) 9．已知正项数列{an}满足a－2a－an＋1an＝0，设bn＝log2，则数列{bn}的前n项和为(　　 ) A．n B． C． D． C　[由a－2a－an＋1an＝0，可得(an＋1＋an)(an＋1－2an)＝0， 又

7、an＞0，∴＝2，∴an＋1＝a12n，∴bn＝log2＝log22n＝n. ∴数列{bn}的前n项和为，故选C.] 10．已知数列{bn}满足b1＝1，b2＝4，bn＋2＝bn＋cos2，则该数列的前23项的和为(　　 ) A．4 194 B．4 195 C．2 046 D．2 047 A　[当n为偶数时，bn＋2＝bn＋cos2＝bn＋1，有bn＋2－bn＝1，即偶数项成等差数列，所以 b2＋b4＋…＋b22＝11b2＋×1＝99. 当n为奇数时，bn＋2＝2bn，即奇数项成等比数列，所以 b1＋b3＋…＋b23＝＝212－1＝4 095. 所以该数列的前23项的和为99

8、＋4 095＝4 194，故选A.] 11．[重视题](2019·惠州调研)已知数列{an}是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n，记集合{x|x＝ai＋aj，i∈N，j∈N,1≤i＜j≤n}的元素个数为cn，把{cn}的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为________． 293　[设an＝a1＋(n－1)d(d≠0)，则ai＋aj＝2a1＋(i＋j－2)d，由题意知1≤i＜j≤n，当i＝1，j＝2时，i＋j－2取最小值1，当i＝n－1，j＝n时，i＋j－2取最大值2n－3，易知i＋j－2可取遍1,2,3，…，2n－3，即cn＝2n－3(n≥

9、3)．数阵中前16行共有1＋2＋3＋…＋16＝136(个)数，所以第17行由左向右数第10个数为c148＝2×148－3＝293.] 12．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－2n(n＋1)－(n＋1)an＝0，设bn＝，n∈N*. (1)证明：{bn}是等差数列； (2)求数列的前n项和Tn. [解](1)因为a1＝1，nan＋1－2n(n＋1)－(n＋1)an＝0， 所以－＝2，所以bn＋1－bn＝2. 因为b1＝＝1， 所以{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1，n∈N*， 所以＝， 所以Tn＝＋＋＋…＋＋

10、， Tn＝＋＋…＋＋， 两式相减，得Tn＝＋2×－＝＋2×－＝＋1－－＝－－， 故Tn＝3－－＝3－. 题号 内容 押题依据 1 数列的通项an与求和公式Sn的关系 由an与Sn的关系求通项公式常以小题形式出现，主要考查转化与化归，分类讨论等思想，难度适中 2 数列求和，对数运算an与Sn的关系 对数运算与数列交汇是高考的命题热点之一，裂项相消法求和简单易行，符合高考的命题形式 【押题1】　已知数列{an}的前n项和是Sn，且an＋Sn＝2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 2－　[当n＝1时，由an＋Sn＝2n＋1知，a1＋S1＝2×1＋

11、1，即a1＋a1＝3，解得a1＝. 由an＋Sn＝2n＋1，① 知当n≥2时，an－1＋Sn－1＝2(n－1)＋1＝2n－1，② ①－②得an－an－1＋(Sn－Sn－1)＝2，即2an－an－1＝2， 即2(an－2)＝an－1－2，即an－2＝(an－1－2)， 故数列{an－2}是以a1－2＝－为首项，为公比的等比数列， 所以an－2＝－×＝－，即an＝2－. 【押题2】　已知数列{an}满足a1＋＋＋…＋＝2n＋1－2(n∈N*)，bn＝log4an. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和Tn. [解](1)当n＝1时，a1＝2. 当n≥2时， a1＋＋＋…＋＝2n＋1－2， a1＋＋＋…＋＝2n－2，两式相减得＝2n，即an＝22n－1， 当n＝1时满足上式，故数列{an}的通项公式an＝22n－1. (2)因为bn＝log422n－1＝， ＝＝2. 所以Tn＝＋＋…＋ ＝2 ＝2＝. - 6 -