2020版高考数学大一轮复习 高考必考题突破讲座2 三角函数与平面向量的综合问题课时达标 理（含解析）新人教A版

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1、高考必考题突破讲座(二) 1．(2017·北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a. (1)求sin C的值； (2)若a＝7，求△ABC的面积． 解析 (1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，所以由正弦定理得sin C＝＝×＝. (2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.由余弦定理得72＝b2＋32－2b×3×，解得b＝8，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝6. 2．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示． (1)求函数y＝f(x)的解析式； (2)当x∈时，求f(x)的取值范围． 解析 (1)由图象知A＝2，又＝－＝，ω>0，所以T＝

2、2π＝，解得ω＝1，所以f(x)＝2sin(x＋φ)．将点代入得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k∈Z)，又－<φ<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin. (2)x∈，则x＋∈，所以sin∈，即f(x)∈[－，2]． 3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π. (1)求当f(x)为偶函数时φ的值； (2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间． 解析 因为f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)． (1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，展开整理得sin

3、 2xcos φ＝0，由已知可知上式对任意x∈R都成立，所以cos φ＝0.因为0＜φ＜，所以φ＝. (2)f(x)的图象过点时，sin＝，即sin＝.又0＜φ＜，所以＜＋φ＜π，所以＋φ＝，φ＝.所以f(x)＝sin.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 4．已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象过点和点. (1)求m，n的值； (2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,

4、3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间． 解析 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x.因为y＝f(x)的图象过点和.所以即解得 (2)由(1)知f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.易知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin.设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．将其代入y＝g(x)，得sin＝1，因为0<φ<π，所以φ＝，因此g(x)＝2sin＝2cos 2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z.所以函数y＝g(x)的单调

5、递增区间为，k∈Z. 5．(2019·山东、湖北部分重点中学联考)设函数f(x)＝2sincos x－. (1)求f(x)的单调递增区间； (2)已知△ABC的内角分别为A，B，C，若f＝，且△ABC能够盖住的最大的圆面积为π，求·的最小值． 解析 (1)f(x)＝2sincos x－＝2·cos x－＝sin 2x＋cos 2x＝sin.令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，所以－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调增区间为，k∈Z. (2)由(1)得，f＝sin ＝，A∈(0，π)，所以A＝.由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc

6、cos A＝b2＋c2－bc.由题意可知△ABC的内切圆半径为1，如图所示，可得b＋c－a＝2，即a＝b＋c－2.所以(b＋c－2)2＝b2＋c2－bc，所以4＋bc＝4(b＋c)≥8，解得bc≥12或0