2020高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课下层级训练10 对数与对数函数（含解析）文 新人教A版

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1、课下层级训练(十)　对数与对数函数 [A级　基础强化训练] 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x　　　 B．　　　 C．logx 　　　 D．2x－2 A　[由题意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，∵f(2)＝1，∴loga2＝1，∴a＝2.∴f(x)＝log2x.] 2．(2019·福建龙岩月考)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a(a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是(　　) A．x2＜x3

2、＜x1 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1 A　[分别作出三个函数的大致图象，如图所示， 由图可知，x2＜x3＜x1.] 3．(2019·山西晋中月考)已知a＝2－，b＝log2，c＝log，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b D　[∵0＜2－＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＝log23＞log22＝1，∴c＞a＞b.] 4．若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　　) A．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞)

3、D．[2，＋∞) A　[令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．] 5．(2019·河南新乡一中月考)设函数f(x)＝loga|x－1|在(－∞，1)上单调递增，则f(a＋2)与f(3)的大小关系是(　　) A．f(a＋2)＞f(3) B．f(a＋2)＜f(3) C．f(a＋2)＝ f(3) D．不能确定 A　[由函数f(x)＝loga|x－1|，可知函数关于x＝1对称，且f(x)在(－∞，1)上单调递增，易得0＜a＜1.∴2＜a＋2＜3.又∵函数在(1，＋∞)上单调减

4、函数，∴f(a＋2)＞f(3)．] 6．(2019·湖北十堰月考)已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f＝__________. 5　[由题意可知f(1)＝log21＝0，f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，所以f(f(1))＋f＝2＋3＝5.] 7．(2019·陕西渭南月考)已知loga＜1，那么a的取值范围是________. 0＜a＜或a＞1　[loga＜1，即loga＜logaa. 当a＞1时，＜a，∴a＞1. 当0＜a＜1时，＞a， ∴0＜a＜. ∴a的取值范围是0＜a＜或a＞1.] 8．设f(x)＝loga(

5、1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值． 解　(1)∵f(1)＝2， ∴loga4＝2(a>0，a≠1)， ∴a＝2.由得x∈(－1,3)， ∴函数f(x)的定义域为(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)] ＝log2[－(x－1)2＋4]， ∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. 9．已知函数f(x)是定义在R上

6、的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx. (1)求函数f(x)的解析式； (2)解不等式f(x2－1)>－2. 解　(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x)． 因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)． 所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ (2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数， 所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)． 又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x2－1|<4，解得－

7、考)若函数y＝(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[当a>1时，函数y＝在[0,1]上单调递减，所以＝1且＝0，解得a＝2；当0

8、0)＝0， 当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m， 由题意可知原条件等价于f(x)min≥g(x)min， 即0≥－m，所以m≥.] 12．(2019·福建三明月考)设函数f(x)＝|logax|(0＜a＜1)的定义域为[m，n](m＜n)，值域为[0,1]，若n－m的最小值为，则实数a的值为__________. 　[作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图． 令|logax|＝1，得x＝a或x＝. 又1－a－＝1－a－＝＜0， 故1－a＜－1， 所以n－m的最小值为1－a＝，解得a＝.] 13．(2019·广东湛江月考)已知函数f(x)＝若a

9、＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围为__________. 　[由f(a)＝f(b)＝f(c)，可知－log3a＝log3b＝2－log3c，则ab＝1，bc＝9，故a＝，c＝，则a＋b＋c＝b＋，又b∈(1,3)，位于函数f(b)＝b＋的减区间上，所以＜a＋b＋c＜11.] 14．(2019·辽宁鞍山月考)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围． 解　(1)

10、h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]，故函数h(x)的值域为[0,2]． (2)由f(x2)·f()>k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]， 所以(3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0,2]时，k<恒成立，即k<4t＋－15，因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，所以4t＋－15的最小值为－3， 综上，k∈(－∞，－3)． 6