2020高考数学大一轮复习 第五章 数列 课下层级训练27 数列的概念与简单表示法（含解析）文 新人教A版

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1、课下层级训练(二十七)　数列的概念与简单表示法 [A级　基础强化训练] 1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于(　　) A．　　　　　　　 B．cos C．π D．cos π D　[令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．] 2．现有这么一列数：2，，，，(　　)，，，…，按照规律，(　　)中的数应为(　　) A．　　　 B．　　　 C．　　　　 D． B　[分母为2n，n∈N，分子为连续的质数，所以(　　)中的数应为.] 3．数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap－aq＝(　　) A．

2、10 B．15 C．－5 D．20 D　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，当n＝1时，a1＝S1＝－1，符合上式，所以an＝4n－5，所以ap－aq＝4(p－q)＝20.] 4．(2019·福建福州质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 019＝(　　) A．1 B．0 C．2 019 D．－2 019 A　[∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2 019＝a1＝1.] 5．已

3、知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，则a13＝(　　) A．143 B．156 C．168 D．195 C　[由an＋1＝an＋2＋1得an＋1＋1＝(＋1)2，所以－＝1，又a1＝0，则＝n，an＝n2－1，则a13＝132－1＝168.] 6．若数列{an}满足关系an＋1＝1＋，a8＝，则a5＝__________. 　[借助递推关系，由a8递推依次得到a7＝，a6＝，a5＝.] 7．已知数列{an}的前n项和Sn＝3－3×2n，n∈N*，则an＝__________. －3×2n－1　[分情况讨论： ①当n＝1时，a1＝S1＝3－3×21＝－3； ②

4、当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3－3×2n)－(3－3×2n－1)＝－3×2n－1. 综合①②，得an＝－3×2n－1.] 8．(2019·黑龙江大庆模拟)已知数列{an}的通项公式an＝(n＋2)·n，则数列{an}的项取最大值时，n＝__________. 4或5　[假设第n项为最大项，则 即解得 即4≤n≤5，又n∈N*，所以n＝4或n＝5， 故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.] 9．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)对于n∈N*，都有a

5、n＋1>an，求实数k的取值范围． 解　(1)由n2－5n＋4<0，解得1an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4， 所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，整理得：k＞－2n－1， 又∵对于n∈N*，都有an＋1＞an， ∴k大于－2n－1的最大值， 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)． 10．已知数列{an}的前n

6、项和Sn＝2n＋1－2. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式． 解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n. 因为a1也适合此等式， 所以an＝2n(n∈N*)． (2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1， 所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n. [B级　能力提升训练] 11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则a10＝(　　) A．64 B．32 C．16 D．8 B

7、　[由an＋1·an＝2n，所以an＋2·an＋1＝2n＋1，故＝2，又a1＝1，可得a2＝2，故a10＝25＝32.] 12．定义：称为n个正数P1，P2，…，Pn的“均倒数”．若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2n－1 B．an＝4n－1 C．an＝4n－3 D．an＝4n－5 C　[∵＝，∴＝2n－1， ∴a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)n，a1＋a2＋…＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)， 当n≥2时，an＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)＝4n－3； a1＝1也适合此等式，∴an＝4n－3.] 13

8、．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝__________. 28　[依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.] 14．(2019·山西太原模拟)设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________. (n∈N*)　[因为数

9、列{an}是首项为1的正项数列， 所以an·an＋1≠0，所以－＋1＝0. 令＝t(t>0)，则(n＋1)t2＋t－n＝0， 分解因式，得[(n＋1)t－n](t＋1)＝0， 所以t＝或t＝－1(舍去)，即＝. 方法一(累乘法)　因为····…· ＝····…·，所以an＝(n∈N*)． 方法二(迭代法) 因为an＋1＝an， 所以an＝an－1＝··an－2 ＝···an－3＝…＝···…·a1，所以an＝(n∈N*)． 方法三(特殊数列法) 因为＝，所以＝1. 所以数列{nan}是以a1为首项，1为公比的等比数列． 所以nan＝1×1n－1＝1.所以an＝(n∈

10、N*)．] 15．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)判断数列{cn}的增减性． 解　 (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)． 所以bn＝ (2)因为cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋，所以cn＋1－cn＝＋－＝－＝＜0， 所以cn＋1＜cn， 所以数列{cn}为递减数列． 16．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)． (1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围． 解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)， 又a＝－7， ∴an＝1＋(n∈N*)． 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知1＞a1＞a2＞a3＞a4， a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)． ∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋， 已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立， 结合函数f(x)＝1＋的单调性， 可知5＜＜6， 即－10＜a＜－8. 即a的取值范围是(－10，－8)． 6