2020高考数学二轮复习 分层特训卷 主观题专练 立体几何（5） 文

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1、立体几何(5) 1．[2019·广东潮州期末]如图，在四棱锥E－ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，DE＝2，点F为棱DE的中点． (1)证明：AF∥平面BCE； (2)若BC＝4，∠BCE＝120°，求三棱锥B－CEF的体积． 解析：(1)取CE中点M，连接MF，MB. 因为F为DE中点，所以MF∥CD，且MF＝CD. 因为AB∥CD，且AB＝CD，所以AB∥MF且AB＝MF， 所以四边形ABMF是平行四边形，所以AF∥BM. 又BM⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，所以AF∥平面BCE. (2)因为AB∥CD，∠ABC＝90°，所以CD⊥

2、BC. 因为CD＝4，CE＝2，DE＝2，所以CD2＋CE2＝DE2，所以CD⊥CE. 因为BC∩CE＝C，BC⊂平面BCE，CE⊂平面BCE，所以CD⊥平面BCE， 则易知点F到平面BCE的距离为2. S△BCE＝BC·CEsin∠BCE＝×4×2sin 120°＝2， 所以三棱锥B－CEF的体积VB－CEF＝VF－BCE＝S△BCE×2＝×2×2＝. 2．[2019·清华自招]如图，EA⊥平面ABC，AE∥CD，AB＝AC＝CD＝2AE＝4，BC＝2，M为BD的中点． (1)求证：平面AEM⊥平面BCD； (2)求三棱锥E－ABM的体积． 解析：(1)如图所示，取BC

3、的中点N，连接MN，AN， 则MN＝DC＝AE，MN∥CD∥AE，所以四边形AEMN为平行四边形． 因为EA⊥平面ABC，AN⊂平面ABC， 所以EA⊥AN，所以四边形AEMN是矩形，所以EM⊥MN. 由题意可得ED＝EB＝2，因为M为BD的中点，所以EM⊥BD. 又EM⊥MN，BD∩MN＝M，所以EM⊥平面BCD. 因为EM⊂平面AEM，所以平面AEM⊥平面BCD. (2)由题可知，V三棱锥E－ABM＝V三棱锥M－ABE，因为MN∥AE，AE⊂平面ABE，MN⊄平面ABE，所以MN∥平面ABE， 连接NE，则V三棱锥M－ABE＝V三棱锥N－ABE＝V三棱锥E－ABN＝×S

4、△ABN×AE. 易得BN＝，AN＝，所以S△ABN＝×BN×AN＝， 所以V三棱锥E－ABM＝××2＝. 3．[2019·河南洛阳第一次统考]如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等边三角形，已知AD＝2，BD＝2，AB＝2CD＝4. (1)设M是PC上一点，求证：平面MBD⊥平面PAD. (2)求四棱锥P－ABCD的体积． 解析：(1)在△ABD中，AD＝2，BD＝2，AB＝4，所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD， 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以BD⊥平面PAD. 又BD⊂平面MBD，

5、所以平面MBD⊥平面PAD. (2)如图所示，设AD的中点为O，则AO＝1，连接PO，易知PO是四棱锥P－ABCD的高，PO＝＝. 又易得S梯形ABCD＝3，所以四棱锥P－ABCD的体积V＝×3×＝3. 4．[2019·四川雅安中学10月月考]如图，四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2，E为CD的中点，点F在线段PB上． (1)求证：AD⊥PC. (2)当满足V三棱锥B－EFC＝V四棱锥P－ABCD时，求的值． 解析：(1)连接AC. 在△ABC中，AB＝2，BC＝2，∠ABC＝45°，

6、 由余弦定理可得AC2＝8＋4－2×2×2×cos 45°＝4，所以AC＝2. 易知∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AD∥BC，所以AD⊥AC. 在△ADP中，AD＝AP＝2，DP＝2，易知PA⊥AD. 又AP∩AC＝A，所以AD⊥平面PAC. 因为PC⊂平面PAC，所以AD⊥PC. (2)因为E为CD的中点，所以 S△BEC＝S平行四边形ABCD， 因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊥AD， 所以PA⊥底面ABCD， 设F到底面ABCD的距离为h. 因为V三棱锥F－BEC＝V三棱锥B－EFC＝V四棱锥P－ABCD， 所以×S△BEC×

7、h＝××S平行四边形ABCD×PA，所以h＝，则易得＝. 5．[2019·重庆10月月考]如图1，在等腰梯形ABCD中，M为AB边的中点，AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，现在沿AC将△ABC折起使点B落到点P处，得到如图2的三棱锥P－ACD. (1)在棱AD上是否存在一点N，使得PD平行于平面MNC？请证明你的结论； (2)当平面PAC⊥平面ACD时，求点A到平面PCD的距离． 解析：(1)当N为AD的中点时，满足题意，证明如下： 由M，N分别为AP，AD的中点，可得MN为△APD的中位线，所以MN∥PD，又MN⊂平面MNC，PD⊄平面MNC，所以PD平行于平面MNC

8、. (2)在等腰梯形ABCD中，由AD∥BC，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，易得∠D＝，AC＝，AC⊥CD.因为AC⊥CD，平面PAC⊥平面ACD，AC为两平面交线，CD⊂平面ACD，所以CD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以CD⊥PC， 所以S△PCD＝×PC×CD＝×1×1＝. 方法一　取AC的中点H，连接PH.由AP＝PC，可知PH⊥AC.又平面PAC⊥平面ACD，AC为平面PAC与平面ACD的交线，所以PH⊥平面ACD. 由CH＝AC＝，PC＝BC＝1，利用勾股定理求得PH＝，所以V三棱锥P－ACD＝S△ACD×PH＝×××1×＝. 设点A到平面PCD的距离为d，由V三

9、棱锥A－PCD＝V三棱锥P－ACD可知，d＝＝. 所以点A到平面PCD的距离为. 方法二　设点A到平面PCD的距离为d，则由V三棱锥D－PAC＝V三棱锥A－PCD，可得·S△PAC·CD＝·S△PCD·d. 在等腰三角形PAC中，S△PAC＝·AB·BC·sin＝， 所以d＝，所以点A到平面PCD的距离为. 6．[2019·安徽合肥六中二模] 《九章算术》是我国古代数学专著，它在几何方面的研究比较深入．例如：堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱；阳马是指底面为矩形，且一条侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的堑堵ABC－A1B1C1中，AC⊥B

10、C. (1)求证：四棱锥B－A1ACC1为阳马．并判断三棱锥A1－CBC1是否为鳖臑，若是，请写出各个面中的直角(只写出结论)． (2)若A1A＝AB＝2，当阳马B－A1ACC1的体积最大时， ①求堑堵ABC－A1B1C1的体积； ②求点C到平面A1BC1的距离． 解析：(1)由堑堵的定义知，A1A⊥底面ABC，所以BC⊥A1A， 又BC⊥AC，A1A∩AC＝A， 所以BC⊥平面A1ACC1. 由堑堵的定义知，四边形A1ACC1为矩形． 综上，可知四棱锥B－A1ACC1为阳马． 三棱锥A1－CBC1为鳖臑，四个面中的直角分别是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1C1B. (2)A1A＝AB＝2，由(1)易知阳马B－A1ACC1的体积V阳马B－A1ACC1＝S矩形A1ACC1×BC＝×A1A×AC×BC＝AC×BC≤(AC2＋BC2)＝×AB2＝，当且仅当AC＝BC＝时，阳马B－A1ACC1的体积最大，最大值为. ①堑堵ABC－A1B1C1的体积V′＝S△ABC×AA1＝×××2＝2. ②由题意知，V三棱锥C－A1BC1＝V三棱锥B－A1C1C＝V阳马B－A1ACC1＝. 设点C到平面A1BC1的距离为d，则S△A1BC1×d＝， 又A1C1＝，BC1＝＝，所以××××d＝，解得d＝. 故点C到平面A1BC1的距离为. 6