（新课标）2020年高考数学一轮总复习 第九章 概率 9-3 几何概型课时规范练 文（含解析）新人教A版

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1、9-3 几何概型 课时规范练 A组　基础对点练 1．(2018·贵阳监测)某公交车站每隔10分钟有一辆公交车到站，乘客到达该车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间大于等于7分钟的概率为(　D　) A. B. C. D. 2．(2016·高考全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　B　) A. B. C. D. 3．(2018·湖北八校联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示的是一枚8 g圆形金

2、质纪念币，直径22 mm，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机画100粒芝麻，已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积是(　B　) A. mm2 B. mm2 C. mm2 D. mm2 解析：设军旗的面积为a mm2，则有＝，解得a＝，故选B . 4.如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　B　) A. B. C. D. 5．(2018·广州调研)如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形

3、，直角三角形中较小的锐角θ＝.若在该大正方形区域内随机取一点，则该点在中间小正方形区域内的概率是(　A　) A. B. C. D. 解析：在每个直角三角形中，斜边长为2，有一个内角为，所以每个直角三角形的面积S＝，所以所求概率P＝＝.故选A . 6．在区间上随机取一个数x，则cos πx的值介于与之间的概率为(　D　) A. B. C. D. 7．(2018·陕西质检)在不等式组所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是(　C　) A．9－ B.9－π C．1－ D.1－ 解析：作出不等式组表示的平面区域，即如图所示的

4、△ABC及其内部，分别以点A，B，C为圆心，以1为半径作弧，则图中的阴影部分内的点满足到△ABC的三个顶点的距离均不小于1.易求得点A(－6,2)，B(－3，2)，C(－3,8)，所以AB＝3，BC＝6.又注意到图中的三个扇形恰好可以拼凑成一个以1为半径的半圆，故所求概率P＝＝ ＝1－.故选C . 8．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(　D　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ 9．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝__3__. 10．(2018·贵阳适应性考试)已知三角形的三边长分别为1,1，，若将

5、一个质点随机投入该三角形的外接圆中，则质点落入该三角形内的概率是　　. 解析：三边长分别为1,1，的三角形是等腰直角三角形，其外接圆的直径是，所以质点落入三角形内的概率P＝＝. 11．(2018·福州质检)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是　1－π　. 解析：依题意，菱形中空白部分的面积总和等于一个半径为1的圆的面积，菱形ABCD的面积为2×2×sin 60°＝2.所以该点落在阴影部分的概率P＝1－＝1－π. 12．已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝1，M为AB的中点，

6、则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为　　. B组　能力提升练 1．如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是(　C　) A.－ B. C．1－ D. 解析：设OA＝OB＝r，则两个以为半径的半圆的公共部分面积为2＝，两个半圆外部的阴影部分的面积为πr2－＝，所以所求概率为＝1－. 2．(2018·石家庄模拟)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　D　) A. B. C. D. 解析：以PB，PC为邻

7、边作平行四边形PBDC， 则＋＝.因为＋＋2＝0， 所以＋＝－2，得＝－2. 由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的， 所以S△PBC＝S△ABC， 所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝，故选D. 3．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　B　) A. B. C. D. 解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD及其内部．要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2－4

8、(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝＝＝. 4．由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为(　D　) A. B. C. D. 解析：如图，由题意知平面区域Ω1的面积SΩ1＝S△AOM＝×2×2＝2. Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分，面积S阴＝SΩ1－S△ABC＝2－×1×＝. 由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P＝＝＝.故选D. 5．记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是　　. 解析：由6＋x－x2≥0，即x2－

9、x－6≤0，得－2≤x≤3，根据几何概型的概率计算公式得x∈D的概率是＝. 6．在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M，用随机模拟方法来估计不规则图形的面积．若在正方形ABCD中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2 000个，则在这次模拟中，不规则图形M的面积的估计值为　　. 解析：由题意，因为在正方形ABCD中随机产生了10 000个点，落在不规则图形M内的点数恰有2 000个，所以概率P＝＝. 因为边长为2的正方形ABCD的面积为4， 所以不规则图形M的面积的估计值为×4＝. 7．(2016·高考山东卷)在[－1,1]上随机地取一个数k，则事件“直

10、线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为　　. 解析：圆(x－5)2＋y2＝9的圆心为C(5,0)，半径r＝3，故由直线与圆相交可得

11、点的距离都大于2 cm的区域内的概率等于　　. 解析：如图所示，分别以正方形的四个顶点为圆心，2 cm为半径作圆，与正方形相交截得四个圆心角为直角的扇形，当小虫落在图中的黑色区域时，它离四个顶点的距离都大于2 cm，其中黑色区域面积为S1＝S正方形－4S扇形－S小圆＝(3)2－π×22－π×12＝9π－5π＝4π，所以小虫离四个顶点的距离都大于2 cm的概率为P＝＝＝. 10．若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴、y轴围成的三角形的面积小于的概率为　　. 解析：对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝，由题意可得·

12、||·||<，因为m∈(0,3)，所以解得0

13、王至少早5分钟到校的概率为P(A)＝＝. 12．有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为　　. 解析：依题意，所求的概率等于1－÷(π×12×3)＝. 13．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)． (1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率； (2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率． 解析：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a·b＝－1，得－2x＋y＝－1， 所以满足a·b＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个． 故满足a·b＝－1的概率为＝. (2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6}． 满足a·b<0的基本事件的结果为A＝{(x，y)|1≤x≤6,1≤y≤6且－2x＋y<0}． 画出图象如图所示，矩形的面积为S矩形＝25， 阴影部分的面积为S阴影＝25－×2×4＝21， 故满足a·b<0的概率为. 9