（通用版）2020版高考数学大二轮复习 能力升级练（二十五）转化与化归思想 文

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1、能力升级练(二十五)　转化与化归思想 一、选择题 1.若a>2,则关于x的方程13x3-ax2+1=0在(0,2)上恰好有(　　) A.0个根 B.1个根 C.2个根 D.3个根 解析设f(x)=13x3-ax2+1,则f'(x)=x2-2ax=x(x-2a),当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)在(0,2)上为减函数.又f(0)f(2)=1×83-4a+1=113-4a<0,所以f(x)=0在(0,2)上恰好有1个根. 答案B 2. 如图所示,已知三棱锥P-ABC,PA=BC=234,PB=AC=10,PC=AB=241,则三棱锥P-ABC的体积为(　　) A.4

2、0　　　　　　　　B.80 C.160 D.240 解析因为三棱锥P-ABC的三组对边两两相等,则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示).把三棱锥P-ABC补成一个长方体AEBG-FPDC,易知三棱锥P-ABC的各边分别是此长方体的面对角线,不妨令PE=x,EB=y,EA=z,则由已知,可得x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164⇒x=6,y=8,z=10. 从而知VP-ABC=VAEBG-FPDC-VP-AEB-VC-ABG-VB-PDC-VA-FPC=VAEBG-FPDC-4VP-AEB=6×8×10-4×16×6×8×10=160. 答案C 3

3、.定义运算:(a⊕b)⊗x=ax2+bx+2.若关于x的不等式(a⊕b)⊗x<0的解集为{x|10,解得x<-23或x>1. 答案D 4.已知OA=(cos θ1,2sin θ1),OB=(cos θ2,2sin θ2),若OA'=(cos θ1,si

4、n θ1),OB'=(cos θ2,sin θ2),且满足OA'·OB'=0,则△OAB的面积等于(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.12 B.1 C.2 D.4 解析由条件OA'·OB'=0,可得cos(θ1-θ2)=0.利用特殊值,如设θ1=π2,θ2=0,代入,则A(0,2),B(1,0),故△OAB的面积为1. 答案B 5.已知函数f(x)=4sin2π4+x-23cos 2x+1且给定条件p:“π4≤x≤π2”,又给定条件q:“|f(x)-m|<2”,且p是q的充分条件,则实数m的取值范围是(　　) A.(3,5) B.(-2,2) C.(1,3)

5、D.(5,7) 解析f(x)=4sin2π4+x-23cos2x+1 =21-cosπ2+2x-23cos2x+1 =2sin2x-23cos2x+3 =4sin2x-π3+3. 令t=2x-π3,当π4≤x≤π2时, f(x)=g(t)=4sint+3,π6≤t≤2π3, ∴当π4≤x≤π2时,f(x)max=7,f(x)min=5. ∵p是q的充分条件, ∴对∀x∈π4,π2,|f(x)-m|<2恒成立, 即m-2f(x)max,即m-2<5,m+2>7,解得5

6、有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分,则常数m的取值范围是(　　) A.-12,+∞ B.-3,-12 C.-12,+∞ D.(-1,+∞) 解析若抛物线上两点(x1,x12),(x2,x22)关于直线y=m(x-3)对称,则满足x12+x222=m(x1+x22-3),x12-x22x1-x2=-1m, ∴x12+x22=m(x1+x2-6),x1+x2=-1m, 消去x2,得2x12+2mx1+1m2+6m+1=0. ∵x1∈R,∴Δ=2m2-81m2+6m+1>0, 即(2m+1)(6m2-2m+1)<0. ∵6m2-2m+1>0,∴m<-12. 即当m<-12时

7、,抛物线上存在两点关于直线y=m(x-3)对称,所以如果抛物线y=x2上的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分,那么m≥-12. 答案A 二、填空题 7.若x,y∈R,集合A={(x,y)|x2+y2=1},B=(x,y)xa-yb=1,a>0,b>0,当A∩B有且只有一个元素时,a,b满足的关系式是　　　　　.  解析A∩B有且只有一个元素可转化为直线xa-yb=1与圆x2+y2=1相切,故圆心到直线的距离为|ab|b2+a2=1.∵a>0,b>0,∴ab=a2+b2. 答案ab=a2+b2 8.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an2+an,用[x]表示不超过x的最

8、大整数,则1a1+1+1a2+1+…+1a2013+1=　　　　　.  解析因为1an+1=1an(an+1)=1an-1an+1,所以1an+1=1an-1an+1,所以1a1+1+1a2+1+…+1a2013+1=1a1-1a2+1a2-1a3+…+1a2013-1a2014=1a1-1a2014,又a1=1,所以1a2014∈(0,1),所以1a1-1a2014∈(0,1),故1a1-1a2014=0. 答案0 9.在各棱长都等于1的正四面体OABC中,若点P满足OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),则|OP|的最小值等于　　　　　.  解析因为点P满足OP=xOA+y

9、OB+zOC(x+y+z=1),所以点P与A、B、C共面,即点P在平面ABC内,所以|OP|的最小值等于点O到平面ABC的距离,也就是正四面体的高,为63. 答案63 三、解答题 10.在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC的中点,又∠CAD=30°,PA=AB=4,点N在线段PB上,且PNNB=13. (1)求证:BD⊥PC; (2)求证:MN∥平面PDC; (3)设平面PAB∩平面PCD=l,试问直线l是否与直线CD平行,请说明理由. (1)证明因为△ABC是正三角形,M是AC的中点, 所以BM⊥AC,即BD⊥AC.

10、 又因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以PA⊥BD. 又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC, 又PC⊂平面PAC,所以BD⊥PC. (2)证明在正三角形ABC中,BM=23. 在△ACD中,因为M为AC的中点,DM⊥AC, 所以AD=CD,∠CDA=120°, 所以DM=233, 所以BM∶MD=3∶1. 所以BN∶NP=BM∶MD,所以MN∥PD. 又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC, 所以MN∥平面PDC. (3)解假设直线l∥CD. 因为l⊂平面PAB,CD⊄平面PAB,所以CD∥平面PAB. 又CD⊂平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD

11、=AB, 所以CD∥AB. 又知CD与AB不平行,所以假设不成立,直线l与直线CD不平行. 11.已知函数f(x)=x-1x,g(x)=aln x,其中x>0,a∈R,令函数h(x)=f(x)-g(x). (1)若函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围; (2)当a取(1)中的最大值时,判断方程h(x)+h(2-x)=0在(0,1)上是否有解,并说明理由. 解(1)∵h(x)=f(x)-g(x), ∴h'(x)=f'(x)-g'(x)=1+1x2-ax=x2-ax+1x2. 依题意,知不等式x2-ax+1≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即a≤x+1x在区间(0,+∞)上恒成立,解得a≤2,即a的取值范围为(-∞,2]. (2)当a=2时,h(x)=x-1x-2lnx. ∴h(x)+h(2-x)=2-2x(2-x)-2ln[x(2-x)]. 令t=x(2-x),x∈(0,1),则t∈(0,1). 构造函数φ(t)=2-2t-2lnt. ∵φ'(t)=2t2-2t=2-2tt2>0恒成立, ∴函数φ(t)在(0,1)上单调递增,且φ(1)=0. ∴φ(t)=2-2t-2lnt=0在(0,1)上无解. 即方程h(x)+h(2-x)=0在(0,1)上无解. 8