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1、专题能力训练12 空间几何体
专题能力训练第30页
一、能力突破训练
1.球的体积为43π,平面α截球O的球面所得圆的半径为1,则球心O到平面α的距离为( )
A.1 B.2 C.3 D.6
答案:B
解析:依题意,设该球的半径为R,则有4π3R3=43π,解得R=3,因此球心O到平面α的距离d=R2-12=2.
2.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A.π B.3π4 C.π2 D.π4
答案:B
解析:设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,
由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,
r,R
2、及圆柱的高的一半构成直角三角形.
∴r=12-122=32.
∴圆柱的体积为V=πr2h=34π×1=3π4.
故选B.
3.在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P在线段BD1上,且BPPD1=12,M为线段B1C1上的动点,则三棱锥M-PBC的体积为( )
A.1 B.32
C.92 D.与M点的位置有关
答案:B
解析:∵BPPD1=12,∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的13,即为D1C13=1.
∵M为线段B1C1上的点,∴S△MBC=12×3×3=92,
∴VM-PBC=VP-MBC=13×92×1=32.
4.已知平面α截球O的球面
3、得圆M,过圆心Μ的平面β与α的夹角为π6,且平面β截球O的球面得圆N.已知球Ο的半径为5,圆M的面积为9π,则圆N的半径为( )
A.3 B.13
C.4 D.21
答案:B
解析:如图,∵OA=5,AM=3,∴OM=4.
∵∠NMO=π3,
∴ON=OM·sinπ3=23.
又OB=5,
∴NB=OB2-ON2=13,故选B.
5.已知三棱柱ABC-A'B'C'的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为3,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积是( )
A.2π B.4π
C.8π D.10π
答案:C
解析:根据余弦定理可知,B
4、C=3,则∠ACB=90°.如图,点E,F分别是斜边AB,A'B'的中点,点O为EF的中点,则点O为三棱柱外接球的球心,连接OA.
设三棱柱的高为h,V=12×1×3×h=3,解得h=2,R2=OA2=12AB2+12h2,
代入可得R2=1+1=2,所以此球的表面积为S=4πR2=8π.
6.已知三棱锥A-BCD内接于半径为5的球O中,AB=CD=4,则三棱锥A-BCD的体积的最大值为( )
A.43 B.83 C.163 D.323
答案:C
解析:如图,过CD作平面ECD,使AB⊥平面ECD,交AB于点E,设点E到CD的距离为EF,当球心在EF上时,EF最大,此时E,F
5、分别为AB,CD的中点,且球心O为EF的中点,所以EF=2,所以Vmax=13×12×4×2×4=163,故选C.
7.在四面体ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,AD=BC=5,则四面体ABCD的外接球的表面积为 .
答案:77π2
解析:构造一个长方体,使得它的三条面对角线长分别为4,5,6,设长方体的三条边长分别为x,y,z,则x2+y2+z2=772,而长方体的外接球就是四面体的外接球,所以S=4πR2=77π2.
8.如图所示,图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为 .
答案:140π3
解析:由题知,旋转一周后形成的几何体是
6、一个圆台去掉一个半球,其中圆台的体积为V=13×(π×22+π×22×π×52+π×52)×4=52π,半球的体积V=12×43×π×23=16π3,则所求体积为52π-16π3=140π3.
9.已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为 .
答案:402π
解析:设O为底面圆圆心,
∵cos∠ASB=78,
∴sin∠ASB=1-782=158.
∴S△ASB=12×|AS|·|BS|·158=515.
∴SA2=80.∴SA=45.
∵SA与圆锥底面所成的角为45°,∠S
7、OA=90°,
∴SO=OA=22SA=210.
∴S圆锥侧=πrl=45×210×π=402π.
10.已知正四棱锥P-ABCD中,PA=23,则当该正四棱锥的体积最大时,它的高h等于 .
答案:2
解析:设正四棱锥P-ABCD的底面边长为a,
∵PA=23,∴2a22+h2=12,即a22+h2=12,
故a2=24-2h2,∴正四棱锥P-ABCD的体积V=13a2h=8h-23h3(h>0),∴V'=8-2h2.
令V'>0,得02,∴当h=2时,正四棱锥P-ABCD的体积取得最大值.
11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1
8、中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
解:(1)交线围成的正方形EHGF如图所示.
(2)作EM⊥AB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.
因为EHGF为正方形,
所以EH=EF=BC=10.
于是MH=EH2-EM2=6,AH=10,HB=6.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,
所以其体积的比值为9779也正确
9、.
12.如图所示,等腰三角形ABC的底边AB=66,高CD=3,点E是线段BD上异于点B,D的动点,点F在BC边上,且EF⊥AB,现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE,记BE=x,V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积,求V(x)的最大值.
解:因为PE⊥EF,PE⊥AE,EF∩AE=E,
所以PE⊥平面ABC.
因为CD⊥AB,FE⊥AB,
所以EF∥CD,
所以EFCD=BEBD,
即EF3=x36,
所以EF=x6,
所以S△ABC=12×66×3=96,
S△BEF=12×x×x6=612x2,
所以V(x)=13×96-612x2x=63x9
10、-112x2(00,V(x)单调递增;
当6
11、三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为 .
答案:415
解析:如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知OD⊥BC,OG=36BC.
设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,
三棱锥的高h=DG2-OG2=25-10x+x2-x2=25-10x.
因为S△ABC=12×23x×3x=33x2,
所以三棱锥的体
12、积V=13S△ABC·h=3x2·25-10x=3·25x4-10x5.
令f(x)=25x4-10x5,x∈0,52,则f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,
则f(x)在(0,2)单调递增,在2,52单调递减,
所以f(x)max=f(2)=80.
所以V≤3×80=415,所以三棱锥体积的最大值为415.
15.若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SA⊥平面ABC,SA=215,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积为 .
答案:64π
解析:如图,三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,因为AB=1,AC=2
13、,∠BAC=60°,
所以BC=3,
所以∠ABC=90°.
所以△ABC截球O所得的圆O'的半径r=1.
设OO'=x,球O的半径为R,则R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12,
所以x2+1=(215-x)2+1,
解得x=15,R2=(15)2+12,R=4.
所以球O的表面积为4πR2=64π.
16.如图①,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿对角线AC把矩形折成二面角D-AC-B(如图②),并且点D在平面ABC内的射影落在AB上.
(1)证明:AD⊥平面DBC;
(2)若在四面体D-ABC内有一球,问:当球的体积最大时,球的半径是多少?
(1
14、)证明设D在平面ABC内的射影为H,则H在AB上,连接DH,如图,
则DH⊥平面ABC,得DH⊥BC.
又AB⊥BC,AB∩DH=H,
所以BC⊥平面ADB,故AD⊥BC.
又AD⊥DC,DC∩BC=C,
所以AD⊥平面DBC.
(2)解当球的体积最大时,易知球与三棱锥D-ABC的各面相切,设球的半径为R,球心为O,
则VD-ABC=13R(S△ABC+S△DBC+S△DAC+S△DAB).
由已知可得S△ABC=S△ADC=6.
过点D作DG⊥AC于点G,连接GH,如图,可知HG⊥AC.
易得DG=125,HG=2720,DH=DG2-HG2=374,S△DAB=12×4×374=372.
在△DAB和△BCD中,
因为AD=BC,AB=DC,DB=DB,
所以△DAB≌△BCD,
故S△DBC=372,VD-ABC=13×6×374=372.
则R36+372+6+372=372,
于是(4+7)R=372,
所以R=372×(4+7)=47-76.
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