（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习 专题能力训练5 函数与方程及函数的应用

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1、专题能力训练5　函数与方程及函数的应用 　专题能力训练第16页　  一、能力突破训练 1.f(x)=-1x+log2x的一个零点落在下列哪个区间(　　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 答案:B 解析:由题意得f(x)单调递增,f(1)=-1<0,f(2)=12>0,所以f(x)=-1x+log2x的零点落在区间(1,2)内. 2.设函数f(x)的零点为x1,函数g(x)=4x+2x-2的零点为x2,若|x1-x2|>14,则f(x)可以是(　　) A.f(x)=2x-12 B.f(x)=-x2+x-14 C.f(x)=1-10x D.f(x

2、)=ln(8x-2) 答案:C 解析:依题意得g14=2+12-2<0,g12=1>0,则x2∈14,12.若f(x)=1-10x, 则有x1=0,此时|x1-x2|>14,因此选C. 3.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0

3、a≤x≤12,则矩形ABCD的面积S=x(16-x). 当0

4、x=1对称.当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)∈(0,1],且单调递减;函数y=2cosπx∈[-2,2],且在区间[1,5]上有两个周期,因此当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)与y=2cosπx的图象有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2=8,故选C. 5.若关于x的方程ax2-|x|+a=0有四个不同的解,则实数a的值可能是(　　) A.14 B.12 C.1 D.2 答案:A 解析:将方程ax2-|x|+a=0整理变形可得a=|x|x2+1, 则方程ax2-|x|+a=0有四个不同的解等价于函数y=a与函数y=|x|x2+1的图象有四个不同的交点, 注

5、意到函数y=|x|x2+1是定义在R上的偶函数,且x>0时,y=xx2+1=1x+1x, 结合对勾函数的性质和复合函数的性质可知函数y=|x|x2+1在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减, 当x=1时,y=|x|x2+1=12, 据此绘制函数图象如图所示, 结合函数图象可知满足题意的实数a的取值范围是0,12, 结合选项可知,实数a的值可能是14.故选A. 6.函数f(x)=cos3x+π6在区间[0,π]上的零点个数为　　　　　.  答案:3 解析:令f(x)=cos3x+π6=0,得3x+π6=π2+kπ,k∈Z, ∴x=π9+kπ3=(3k+1)

6、π9,k∈Z.则在区间[0,π]上的零点有π9,4π9,7π9.故有3个. 7.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则f(a),f(1),f(b)的大小关系为　.  答案:f(a)0恒成立,则函数f(x)在R上是单调递增的, 因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1). 由题意,知g'(x)=1x+1>0, 则函数g(x)在区间(0,+∞)内是单调递增的. 又g(1)=ln1+1-2=-

7、1<0,g(2)=ln2+2-2=ln2>0,则函数g(x)的零点b∈(1,2). 综上,可得0

8、商品价格为x元,实际付款为y元, 则y=x,0500, 整理,得y=x,0500. ∵0.9×200=180>100, ∴A商品的价格为100元.∵0.9×500=450, ∴B商品的价格为500元.当x=100+500=600时,y=100+0.7×600=520,即若丙一次性购买A,B两件商品,则应付款520元. 9.已知函数f(x)=2x,g(x)=12|x|+2. (1)求函数g(x)的值域; (2)求满足方程f(x)-

9、g(x)=0的x的值. 解:(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2, 因为|x|≥0,所以0<12|x|≤1, 即20时,由2x-12x-2=0整理,得(2x)2-2·2x-1=0,(2x-1)2=2, 解得2x=1±2.因为2x>0,所以2x=1+2, 即x=log2(1+2). 10.如图,一个长方体形状的物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移

10、动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|×S成正比,比例系数为110;②其他面的淋雨量之和,其值为12.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=32时, (1)写出y的表达式; (2)设00). (2)由(1)知,当0

11、15; 当c

12、6 C.14 D.12 答案:A 解析:由题中图象知,f(x)=0有3个根0,a,b,且a∈(-2,-1),b∈(1,2);g(x)=0有3个根0,c,d,且c∈(-1,0),d∈(0,1).由f(g(x))=0,得g(x)=0或a,b,由图象可知g(x)所对每一个值都能有3个根,因而m=9;由g(f(x))=0,知f(x)=0或c,d,由图象可以看出f(x)=0时对应有3个根,f(x)=d时有4个根,f(x)=c时只有2个根,加在一起也是9个,即n=9,故m+n=9+9=18,故选A. 12.已知函数f(x)=2-|x|,x≤2,(x-2)2,x>2,函数g(x)=3-f(2-x),则

13、函数y=f(x)-g(x)的零点个数为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:A 解析:因为f(x)=2+x,x<0,2-x,0≤x≤2,(x-2)2,x>2, 所以f(2-x)=2+(2-x),2-x<0,2-(2-x),0≤2-x≤2,(2-x-2)2,2-x>2 ⇒f(2-x)=x2,x<0,x,0≤x≤2,4-x,x>2, f(x)+f(2-x)=x2+x+2,x<0,2,0≤x≤2,x2-5x+8,x>2, 所以函数y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)=x2+x-1,x<0,-1,0≤x≤2,x2-5x+5,x>2. 其图象如图所示. 显然

14、函数图象与x轴有两个交点,故函数有两个零点. 13.设函数f(x)=2x-a,x<1,4(x-a)(x-2a),x≥1. (1)若a=1,则f(x)的最小值为　　　　　;  (2)若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是　　　　　.  答案:(1)-1　(2)12,1∪[2,+∞) 解析:(1)当a=1时,f(x)=2x-1,x<1,4(x-1)(x-2),x≥1, 当x<1时,2x-1∈(-1,1); 当x≥1时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞). 故f(x)的最小值为-1. (2)若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴有一个交点,则a>0,并且当x=1时

15、,f(1)=2-a>0,所以0

16、+∞). 14.已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)万元,且R(x)=10.8-130x2,010. (1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本) 解:(1)当010时,W=xR(x)-(10+2.7

17、x)=98-10003x-2.7x. 故W=8.1x-x330-10,010. (2)①当00;当x∈(9,10]时,W'<0. 所以当x=9时,W取得最大值, 即Wmax=8.1×9-130×93-10=38.6. ②当x>10时,W=98-10003x+2.7x≤98-210003x×2.7x=38, 当且仅当10003x=2.7x,即x=1009时,W取得最大值38. 综合①②知,当x=9时,W取得最大值38.6, 故当年产量为9千件时,该公司在这

18、一品牌服装的生产中所获的年利润最大. 15.甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付的情况下,乙方的年利润x(单位:元)与年产量q(单位:t)满足函数关系x=2 000q.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格). (1)将乙方的年利润w(单位:元)表示为年产量q(单位:t)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)在乙方年产量为q(单位:t)时,甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002q2(单位:元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大

19、净收入,应向乙方要求的赔付价格s是多少? 解:(1)因为赔付价格为s元/吨,所以乙方的实际年利润为w=2000q-sq(q≥0). 因为w=2000q-sq=-sq-1000s2+10002s, 所以当q=1000s2时,w取得最大值.所以乙方取得最大利润的年产量q=1000s2t. (2)设甲方净收入为v元,则v=sq-0.002q2, 将q=1000s2代入上式,得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式: v=10002s-2×10003s4. 又v'=-10002s2+8×10003s5=10002(8000-s3)s5, 令v'=0得s=20.当s<20时,v'>0;当s>20时,v'<0.所以当s=20时,v取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格s为20元/吨时,获最大净收入. 9