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1、单元质检卷五 平面向量、数系的扩充与复数的引入
(时间:45分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)
1.(2018河北衡水中学十六模,1)已知i是虚数单位,则复数z=3+7ii的实部和虚部分别是( )
A.7,-3 B.7,-3i
C.-7,3 D.-7,3i
2.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边的中点,且2OA+OB+OC=0,则( )
A.AO=2OD B.AO=OD
C.AO=3OD D.2AO=OD
3.(2018河北衡水中学三模,9)已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为π3,那么|
2、4a-b|等于( )
A.2 B.6
C.23 D.12
4.设向量a=(2,x-1),b=(x+1,4),则“x=3”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2018河北衡水中学押题三,2)已知复数z=-12-32i,则z+|z|=( )
A.-12-32i B.-12+32i
C.12+32i D.12-32i
6.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记l1=OA·OB,l2=OB·OC,l3=OC·OD,则( )
A.l1
3、
4、0.(2018天津,理8)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为( )
A.2116 B.32
C.2516 D.3
11.(2018河北衡水中学17模,8)已知|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,则|OA-tOB|(t∈R)的最小值为( )
A.2 B.3
C.2 D.5
12.(2018河北衡水中学金卷一模,11)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos B+3asin B=b+c,b=1,点D是△ABC的重心,且AD=7
5、3,则△ABC的外接圆的半径为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)
13.(2018河北衡水中学三模,13)若向量a=(-1,2),b=(-1,-1),则4a+2b与a-b的夹角等于 .
14.(2018河北衡水中学一模,14)已知向量a=(2sin α,cos α),b=(1,-1),且a⊥b,则(a-b)2= .
15.(2018湖南长郡中学三模,14)已知向量a,b满足:|a|=|b|=1,且a·b=12,若c=xa+yb,其中x>0,y>0且x+y=2,则|c|的最小值是 .
16.(2
6、018河北衡水中学金卷一模,15)已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,∠ADC=90°,若点M在线段AC上,则|MB+MD|的取值范围为 .
参考答案
单元质检卷五 平面向量、数系的扩充与复数的引入
1.A 因为复数z=3+7ii=3i+7i2i2=7-3i,
所以,复数z=3+7ii的实部是7,虚部是-3,故选A.
2.B 由2OA+OB+OC=0,得OB+OC=-2OA=2AO,即OB+OC=2OD=2AO,所以OD=AO,故选B.
3.C |4a-b|=16a2-8a·b+b2=16-8+4=23,选C.
4.A 当x=3时,a=
7、(2,2),b=(4,4),此时a∥b;当a∥b时,(x-1)(x+1)=2×4,解得x=±3.所以“x=3”是“a∥b”的充分不必要条件.
5.C 根据z=-12-32i,可得z=-12+32i,且|z|=14+34=1,所以有z+|z|=-12+32i+1=12+32i,故选C.
6.C 由题图可得OA<12AC90°,∠BOC<90°,
所以l2=OB·OC>0,l1=OA·OB<0,l3=OC·OD<0,且|l1|<|l3|,所以l3
8、).
因为c=(3,4),(b+λa)⊥c,
所以(b+λa)·c=0,即(1+λ,2λ)·(3,4)=3+3λ+8λ=0,
解得λ=-311,故选A.
8.D ∵GA+GB+GC=0,
∴OA-OG+OB-OG+OC-OG=0,
∴OA=3OG-OB-OC=3×16BC-OB-OC=12(OC-OB)-OB-OC
=-32OB-12OC,
则m=-32,n=-12,则m-n=-1.
另解OA=OG+GA=OG-GB-GC=OG+BG+CG=3OG-OB-OC=3×16BC-OB-OC=12(OC-OB)-OB-OC=-12OC-32OB.
∴m=-32,n=-12,
∴
9、m-n=-32+12=-1.
9.D 因为AC=λAM+μBD,
所以AB+AD=λAB+12AD+μ(AD-AB),
即AB+AD=(λ-μ)AB+λ2+μAD,
因此λ-μ=1,λ2+μ=1,
所以λ=43,μ=13,λ+μ=53,故选D.
10.A 如图,取AB的中点F,连接EF.
AE·BE=(AE+BE)2-(AE-BE)24=(2FE)2-AB24=|FE|2-14.
当EF⊥CD时,|EF|最小,即AE·BE取最小值.
过点A作AH⊥EF于点H,由AD⊥CD,EF⊥CD,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.
因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.
10、
在Rt△AFH中,易知AF=12,HF=14,
所以EF=EH+HF=1+14=54.
所以(AE·BE)min=542-14=2116.
11.B ∵|OA|=|OB|=2,
∴点O在线段AB的垂直平分线上.
∵点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,
∴当C是AB的中点时|OC|最小,此时|OC|=1,
∴OB与OC的夹角为60°,
∴OA,OB的夹角为120°.
又|OA-tOB|2=OA2+t2OB2-2tOA·OB=4+4t2-2t·4·cos 120°=4t2+4t+4=4t+122+3≥3,当且仅当t=-12时等号成立.
∴|OA-tOB|2的最小值为3
11、,
∴|OA-tOB|的最小值为3.故选B.
12.A 由正弦定理,得sin Acos B+3sin Asin B=sin B+sin(A+B),
即3sin Asin B=sin B+cos Asin B.
又sin B≠0,∴3sin A-cos A=1,
∴sinA-π6=12.
由0
12、理得,△ABC的外接圆半径R=a2sinA=1.故选A.
13.π4 cos θ=(4a+2b)·(a-b)|4a+2b||a-b|=(-6,6)·(0,3)62×3=22,因为θ∈[0,π],所以θ=π4.
14.185 由a⊥b得2a·b=2sin α-cos α=0,∴tan α=12,(a-b)2=a2+b2-2a·b=a2+b2=4sin 2α+cos 2α+2=4tan2α+11+tan2α+2=185,故答案为185.
15.3 ∵|a|=|b|=1,且a·b=12,当c=xa+yb时,c2=x2a2+2xya·b+y2b2,
=x2+xy+y2=(x+y)2-xy.
13、又x>0,y>0且x+y=2,∴xy≤x+y22=1,
当且仅当x=y=1时取“=”,∴|c|2≥(x+y)2-x+y22=22-1=3,∴|c|的最小值是3,故答案为3.
16.255,22 建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(1,2),D(0,2),设AM=λAC(0≤λ≤1),则M(λ,2λ),
故MD=(-λ,2-2λ),MB=(2-λ,-2λ),则MB+MD=(2-2λ,2-4λ),
|MB+MD|=(2-2λ)2+(2-4λ)2=20λ-352+45,
当λ=0时,|MB+MD|取得最大值22,当λ=35时,|MB+MD|取得最小值255,
∴|MB+MD|∈255,22.
6
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