《（山东专用）2020年高考数学一轮复习 专题06 函数的奇偶性与周期性（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（山东专用）2020年高考数学一轮复习 专题06 函数的奇偶性与周期性（含解析）（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、专题06 函数的奇偶性与周期性
一、【知识精讲】
1．函数的奇偶性
(1)
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴
对称奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，
2、称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
3．函数的对称性常见的结论
(1)函数y＝f(x)关于x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；
函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．
(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.
特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔
3、f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；
函数y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．
(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；
y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．
[知识拓展]
1．函数奇偶性常用结论
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(4)y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－
4、f(x＋a)；
y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．
(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a＞0)．
(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a＞0)．
二、【典例精练】
考点一 判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝
【解析】 (1)由得x2＝3，解得x＝±，
即函数f(x)的定义域为{－，}，
从而f(x)＝＋＝0.
因此f(－x)＝－f(
5、x)且f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝.
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
∵当x<0时，－x>0，
则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；
综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.
【解
6、法小结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
考点二 函数的周期性及其应用
例2. (1) (2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50 B.0 C.2 D
7、.50
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
【答案】 (1)C (2)7
【解析】(1)法一 ∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝
8、－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
法二 取一个符合题意的函数f(x)＝2sin，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
(2)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2
9、)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
【解法小结】 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.
考点三 函数性质的综合运用
角度1 函数单调性与奇偶性
【例3－1】(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f
10、(x－2)≤1的x的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－1,1]
C．[0,4] D．[1,3]
【答案】D
【解析】 (1)∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.
故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
【解法小结】 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.
2.本题充分利用偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化
11、了解题过程.
角度2 函数的奇偶性与周期性
【例3－2】（1）(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.
【答案】6
【解析】 ∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
(2)(2018·洛阳模拟)已知函数y＝f(x)满足y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数，且f(1)＝，设F(x)＝f(x)＋f(－
12、x)，则F(3)＝( )
A. B. C.π D.
【答案】B
【解析】由y＝f(－x)和y＝f(x＋2)是偶函数知f(－x)＝f(x)，且f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x＋2)＝f(x－2).
∴f(x＋4)＝f(x)，则y＝f(x)的周期为4.
所以F(3)＝f(3)＋f(－3)＝2f(3)＝2f(－1)＝2f(1)＝.
例3-3（1）(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A．－50 B．0
C．2 D．5
13、0
(2)定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log (1－x)，则f(x)在区间内是( )
A．减函数且f(x)>0 B．减函数且f(x)<0
C．增函数且f(x)>0 D．增函数且f(x)<0
【答案】 (1)C (2)D
【解析】 (1)法一：∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(1－x)＝－f(x－1)．
由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，
∴f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴函数f(x)是周期为4的周期函数．
由f(x)为奇函数得f(0)
14、＝0.
又∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.
又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)
＝0×12＋f(49)＋f(50)
＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f(x)＝2sin，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f
15、(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
(2)当x∈时，由f(x)＝log (1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)>0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)<0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)<0.
【解法小结】 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
【思维升华】
16、1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.
3.在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用.
【易错 注意点】
1.f(0)＝0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
2.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的
17、周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
三、【名校新题】
1.(2019·衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y＝x3 B.y＝x
C.y＝|x| D.y＝|tan x|
【答案】C
【解析】 对于A，y＝x3为奇函数，不符合题意；
对于B，y＝x是非奇非偶函数，不符合题意；
对于D，y＝|tan x|是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.
2．(2019·南昌联考)函数f(x)＝的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称
【答案】B
【解析】 因为f(x
18、)＝＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．
3． (2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，
且f(x)＝则g(－8)＝( )
A.－2 B.－3 C.2 D.3
【答案】A
【解析】 法一 当x<0时，－x>0，且f(x)为奇函数，
则f(－x)＝log3(1－x)，所以f(x)＝－log3(1－x).
因此g(x)＝－log3(1－x)，x<0，
故g(－8)＝－log39＝－2.
法二 由题意知，g(－8)＝f(－8)＝－f(8)＝－log39＝－2.
4.(2019·山东、湖北部分重
19、点中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1，0]恒成立，则实数m的取值范围是( )
A.[－3，1] B.[－4，2]
C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)
【答案】A
【解析】 因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1，0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得
20、－3≤m≤1.
5.(2019·石家庄模拟)已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为( )
A.{x|02}
B.{x|x<0或x>2}
C.{x|x<0或x>3}
D.{x|x<－1或x>1}
【答案】A
【解析】由题意知函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，
不等式f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(1)或f(x－1)>f(－1).
∴x－1>1或0>x－1>－1，
解之得x>2或0
21、，当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于( )
A．403 B．405
C．806 D．809
【答案】B
【解析】定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0,2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝
22、403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.
7．(2018·石家庄一模)设f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f(x－1)≥f(3)的解集为( )
A．[－3,3] B．[－2,4]
C．[－1,5] D．[0,6]
【答案】B
【解析】因为f(x)是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，
所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f(x)在[－6,0
23、]上为增函数，得f(x)在(0,6]上为减函数，故f(x－1)≥f(3)⇒f(|x－1|)≥f(3)⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.
8．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1)
C．y＝ D．y＝x－
【答案】D
【解析】选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．
9．(2019·合肥调研)定义在
24、R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有( )
A．f
25、奇函数，则f(－x)＝－f(x)，
则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，
则f(x)的最小正周期是12，
故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2.
11.(2019·上海崇明二模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则当x∈[1，2]时，f(x)＝________.
【答案】log2(3－x)
【解析】当x∈[1，2]时，x－2∈[－1，0]，2－x∈[0，1]，
又f(x)在R上是以2为周期的偶函数，
∴f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(2－x＋1)＝log2(3－x
26、).
12. (2018·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________.
【答案】4
【解析】因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，
所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，
所以f(x)是R上的奇函数，
f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.
所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，
所以f(2 016)＋f(2 018)＝－
27、f(2 014)＋f(2 014＋4)＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0，
所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.
13．(2019·洛阳统考)若函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，则实数a＝________.
【答案】－.
【解析】法一：(定义法)∵函数f(x)＝ln(ex＋1)＋ax为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax，
∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln(ex＋1)＝ln＝ln＝－x，
∴2a＝－1，解得a＝－.
法二：(特殊值法)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函
28、数得f(－1)＝f(1)，
∴ln(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝ln＝ln＝－1，
∴a＝－.
14．(2019·陕西一测)若函数f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的图象关于原点对称，则函数g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域为________．
【答案】
【解析】由函数f(x)的图象关于原点对称，可得a－4＋a＝0，即a＝2，则函数f(x)＝2x＋b，其定义域为[－2,2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g(－1)，g(－4)]，即.
15．(20
29、19·惠州调研)已知函数f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，则f(－a)＝________.
【答案】-4
【解析】法一：因为f(x)＋1＝x＋，
设g(x)＝f(x)＋1＝x＋，
易判断g(x)＝x＋为奇函数，
故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0，
即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2.
所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.
法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，
即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
16．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a
30、－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
【解析】：(1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
17.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积.
31、
【解析】 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4为周期的周期函数，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
故知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如下图所示.
当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
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（山东专用）2020年高考数学一轮复习 专题06 函数的奇偶性与周期性（含解析）
