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1、题型练10 大题综合练(二)
1.在等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
2.为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50]上的女生数与体重在区间(50,60]上的女生数之比为4∶3.
2、(1)求a,b的值;
(2)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.
3.如图,四边形ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于点F,且点F在CE上.
(1)求证:AE⊥BE;
(2)求三棱锥D-AEC的体积;
(3)设点M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点3,12,焦点为F1(-3,0),F2(3,0
3、),圆O的直径为F1F2.
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为267,求直线l的方程.
5.(2019江西南昌二模,21)已知函数f(x)=ln x+ax,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当a=34时,证明:x3>f(x).
题型练10 大题综合练(二)
1.解(1)设数列{an}的公差为d,
由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,
解得a1=1,d=2
4、5.
所以{an}的通项公式为an=2n+35.
(2)由(1)知,bn=2n+35.
当n=1,2,3时,1≤2n+35<2,bn=1;
当n=4,5时,2≤2n+35<3,bn=2;
当n=6,7,8时,3≤2n+35<4,bn=3;
当n=9,10时,4≤2n+35<5,bn=4.
所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.
2.解(1)样本中体重在区间(45,50]上的女生有a×5×20=100a(人),
样本中体重在区间(50,60]上的女生有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)(人),
依题意,有100a=43×100(b
5、+0.02),即a=43×(b+0.02).①
根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)×5=1,②
解①②得:a=0.08,b=0.04.
(2)样本中体重在区间(50,55]上的女生有0.04×5×20=4人,分别记为A1,A2,A3,A4,
体重在区间(55,60]上的女生有0.02×5×20=2人,分别记为B1,B2.
从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况:
(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B
6、1),(A4,B2),(B1,B2).
其中体重在(55,60]上的女生至少有一人共有9种情况:
(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).
记“从样本中体重在区间(50,60]上的女生随机抽取两人,体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M,则P(M)=915=35.
3.(1)证明∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,
∴BC⊥平面ABE,
∴AE⊥BC.
又BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE,
∵BC∩BF=B,
∴AE⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,
∴AE
7、⊥BE.
(2)解在△ABE中,过点E作EH⊥AB于点H,则EH⊥平面ACD.
由已知及(1)得EH=12AB=2,S△ADC=22.
故VD-AEC=VE-ADC=13×22×2=43.
(3)解在△ABE中过点M作MG∥AE交BE于点G,
在△BEC中,过点G作GN∥BC交BC于点N,连接MN,则由CNCE=BGBE=MBAB=13,得CN=13CE.
∵MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面AED,
∴MG∥平面ADE.
∵GN∥BC,BC∥AD,
∴GN∥平面ADE.
∴平面MGN∥平面ADE.
又MN⊂平面MGN,
∴MN∥平面ADE.
∴当点N为线段
8、CE上靠近点C的一个三等分点时,MN∥平面ADE.
4.解(1)因为椭圆C的焦点为F1(-3,0),F2(3,0),
可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).
又点3,12在椭圆C上,
所以3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得a2=4,b2=1.
因此,椭圆C的方程为x24+y2=1.
因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.
(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x02+y02=3,
所以直线l的方程为y=-x0y0(x-x0)+y0,
即y=-x0y0x+3y0.
由x24+y2=1,y=-x0y0x+
9、3y0,消去y,得
(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,
所以Δ=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02(x02-2)=0.
因为x0,y0>0,所以x0=2,y0=1.
因此,点P的坐标为(2,1).
②因为△OAB的面积为267,
所以12AB·OP=267,从而AB=427.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由(*)得,x1,2=24x0±48y02(x02-2)2(4x02+y02),
所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+x02y02·48
10、y02(x02-2)(4x02+y02)2.
因为x02+y02=3,所以AB2=16(x02-2)(x02+1)2=3249,则2x04-45x02+100=0,
解得x02=52(x02=20舍去),则y02=12,因此P的坐标为102,22.
综上,直线l的方程为y=-5x+32.
5.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+a=ax+1x.
则①当a≥0时,f'(x)≥0恒成立,此时f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;
②当a<0时,令f'(x)>0,得x<-1a,所以f(x)在区间0,-1a内单调递增,在区间-1a,+∞内单调递减.
综上所述,当a≥
11、0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
当a<0时,f(x)的单调递增区间为0,-1a,单调递减区间为-1a,+∞.
(2)证明当x>0时,x-1≥lnx.
所以欲证x3>lnx+34x,只要证x3>(x-1)+34x=74x-1.
设g(x)=x3-74x+1(x>0),则g'(x)=3x2-74.
令g'(x)=0,可得x0=723.
且当x∈(0,x0)时,g'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0.
所以g(x)在区间(0,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增.
所以g(x)≥g(x0)=77243-7783+1=1-77123.
因为(77)2=343<(123)2=432,所以77<123.
所以g(x)≥g(x0)>0,
即x3>(x-1)+34x恒成立.
所以x3>lnx+34x恒成立,即x3>f(x).
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