6、(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.
【答案】＋y2＝
根据下列条件，求圆的方程．
(1)经过P(－2，4)、Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6；
(2)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
【解析】(1)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6有D2－4F＝36，④
由①、②、④解
7、得D＝－2，E＝－4，F＝－8，或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为
x2＋y2－2x－4y－8＝0，或x2＋y2－6x－8y＝0.
(2)法一：如图，设圆心(x0，－4x0)，依题意得＝1，
∴x0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r＝2，
故圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：设所求方程为(x－x0)2＋
(y－y0)2＝r2，
根据已知条件得
解得
因此所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
【点评】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和
8、半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．
考点2 与圆有关的最值问题、范围问题
已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
【解析】(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4>2，
9、即点Q在圆C外，
所以|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率，
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.
由直线MQ与圆C有交点，
所以≤2，
可得2－≤k≤2＋，
所以的最大值为2＋，最小值为2－.
【点评】与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最
10、值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．
考点3 与圆有关的综合问题
已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
(1)求圆C的方程；
(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值；
(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
【解析】(1)设圆心C(a，b)，
则解得
又点P(1，1)在圆C
11、上，故圆C的方程为x2＋y2＝2.
(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，
·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)
＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2.
所以·的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．
(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，
则PB：y－1＝－k(x－1)，由，
得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0，
因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，
故可得xA＝，
同理，xB＝，
所以kAB＝＝
＝＝1＝kOP，
所以直线AB和OP一定平行．
【点评】(1)两圆关于
12、某直线对称，其圆心对称，半径相等．
(2)通过坐标计算数量积，等价转化为求函数最值．
(3)通过“设而不求”的思想处理．
方法总结 【p147】
1．在求圆的方程时，应根据题意，合理选择圆的方程形式．圆的标准方程突出了圆心坐标和半径，便于作图使用；圆的一般方程是二元二次方程的形式，便于代数运算；而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛．同时，在选择方程形式时，应熟悉它们的互化．如果问题中给出了圆心与圆上的点两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程；如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程．
2．在二元二次方程中x2和y2的系数相等并且没有xy项，只是表示圆的必要条件而不是
13、充分条件．
3．在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的几何性质，这样会使问题简化．涉及与圆有关的最值问题或范围问题时应灵活、恰当运用参数方程．
走进高考 【p148】
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
【解析】(1)设A，B，l：x＝my＋2，
由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，
所以OA⊥OB.
故
14、坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为，圆M的半径r＝，
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故＋＝0，
即x1x2－4＋y1y2＋2＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4，
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为＋＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为＋＝.
2．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且
15、斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
【解析】(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程为y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
16、
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
，解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
考点集训 【p259】
A组题
1．圆x2＋y2－2x＋6y＋6＝0的圆心和半径分别为( )
A．圆心(1，3)，半径为2B．圆心(1，－3)，半径为2
C．圆心(－1，3)，半径为4D．圆心(1，－3)，半径为4
【解析】将x2＋y2－2x＋6y＋6＝0配方得
(x－1)2＋(y＋3)2＝4，
所以圆心为(1，－3)，半径为2.
【答案】B
2．已知两点A(－1，3)，B(3
17、，a)，以线段AB为直径的圆经过原点，则该圆的标准方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－1)2＋(y－2)2＝40
C．(x－1)2＋(y－1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝32
【解析】以线段AB为直径的圆经过原点，则OA⊥OB，
所以×＝－1，a＝1，
线段AB中点为(1，2)，半径r＝|AB|＝，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
【答案】A
3．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0＜a＜1，则原点与圆的位置关系是( )
A．原点在圆上B．原点在圆外
C．原点在圆内D．不确定
【解析】将圆的一般方
18、程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0＜a＜1，
所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2＞0，
即＞，所以原点在圆外．
【答案】B
4．已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝4与圆C2：x2＋(y－2)2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．4B．5C．6D．7
【解析】求得C2(0，2)关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，
由解得C(1，1)，
由对称性可得|PC|＝|PC2|，
则|PC1|－|PC2|＝|PC1|－|PC|≤|C1C|＝3，
由于|PM|≤|PC1|＋2，
19、|PN|≥|PC2|－1，
∴|PM|－|PN|≤|PC1|－|PC2|＋3≤6，
故|PM|－|PN|的最大值为6.
【答案】C
5．已知圆O：x2＋y2＝1.圆O′与圆O关于直线x＋y－2＝0对称，则圆O′的方程是________________．
【解析】设圆O′的圆心(a，b)，因为圆O′的圆心与圆O：x2＋y2＝1的圆心关于直线l：x＋y－2＝0对称，
所以解得a＝2，b＝2；
又圆的半径为1，则所求圆的方程为：(x－2)2＋(y－2)2＝1.
【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝1
6．已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝4上的动点，则x＋y的最大值为_______
20、___．
【解析】令x＝2cosθ，y＝2sinθ(θ∈R)，
则x＋y＝2cosθ＋2sinθ＝2sin∈[－2，2]．
【答案】2
7．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3，3)和点Q(5，3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
【解析】(1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又由a>0，可得a＝.
(2)由两点间距离公式可得
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
因为线段PQ(不含端点)与圆有且只有一个公共点，即P、Q两点一
21、个在圆内、另一个在圆外，由于3<，所以3
22、2)设切线方程为y＝x和x＋y＝2＋a，
则＝2和＝2，
解得a＝±或a＝1±2，
∴切线方程为y＝±x和x＋y＝3±2.
B组题
1．已知点P(3，2)，若点A在圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上运动，点B在y轴上运动，则|＋|的最小值为________．
【解析】法一：设A(x1，y1)，B(0，y2)，则＋＝(x1－6，y1＋y2－4)．
若设r＝|＋|，则由题意可得(x1－6)2＋(y1＋y2－4)2＝r2.即点A在以D(6，4－y2)为圆心，以r为半径的圆D：(x－6)2＋(y＋y2－4)2＝r2上．
由圆C与圆D有公共点A可得r＋2≥|CD|＝≥5，从而r≥3.
23、
法二：设A(x1，y1)，B(0，y2)，则＋＝(x1－6，y1＋y2－4)．
从而，|＋|＝≥＝6－x1≥3.
法三：由点A在圆C上可设A(1＋2cosθ，－2＋2sinθ)，B(0，t)，
则＋＝(2cosθ－5，t＋2sinθ－6)．
故|＋|＝≥＝5－2cosθ≥3.
法四：设Q为AB的中点，则＋＝2，过P，Q，A作y轴的垂线，垂足分别为P′，Q′，A′.
由于|PP′|≤|PQ|＋|QQ′|＝|PQ|＋|AA′|≤|PQ|＋，
因此|PQ|≥|PP′|－＝，即|＋|＝2||≥3.
法五：设B′为点B关于点P的对称点，
则|＋|＝|－|＝||.
由于点B
24、′在直线x＝6上，点A在圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上可得||≥5－2＝3.
法六：同法五，设A′为点A关于点P的对称点，则|＋|＝|－′|＝||.
由于点A′在圆C′：(x－5)2＋(y－6)2＝4上，点B在y轴上可得||≥5－2＝3.
【答案】3
2．已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为________________．
【解析】因为圆C：x2＋(y－1)2＝1的圆心为C(0，1)，半径是r＝1，所以四边形PACB的面积为S＝2S△PAC＝|P
25、A|×1＝，当|PC|最小，即圆心C(0，1)到直线kx＋y＋4＝0的距离d＝最小时，四边形PACB的面积最小，由题设可得－1＝4，由k>0，解之得k＝2.
【答案】2
3．已知定点A(0，1)，B(0，－1)，C(1，0)，动点P满足：·＝k||2.
(1)求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；
(2)当k＝2时，求|2＋|的最大值、最小值．
【解析】(1)设动点坐标为P(x，y)，
则＝(x，y－1)，＝(x，y＋1)，＝(1－x，－y)．
因为·＝k||2，
所以x2＋y2－1＝k[(x－1)2＋y2]，
整理得(1－k)x2＋(1－k)y2＋2kx－k－1＝0
26、.
若k＝1，则方程为x＝1，表示过点(1，0)且平行于y轴的直线．
若k≠1，则方程为＋y2＝，
表示以为圆心，以为半径的圆．
(2)最大值为3＋，最小值为－3.
4．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的值无关)？请证明你的结论．
【解析】(1)令x＝0，得抛物线与y轴的交点是(0，b)．
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，
由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y
27、2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，
代入得出E＝－b－1.
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C必过定点，证明如下：
假设圆C过定点(x0，y0)(x0，y0不依赖于b)，将该点的坐标代入圆C的方程，
并变形为x＋y＋2x0－y0＋b(1－y0)＝0，(*)
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立，
必须有1－y0＝0，结合(*)式得x＋y＋2x0－y0＝0，
解得或
经检验，点(0，1)，(－2，1)均在圆C上，因此圆C过这两定点.
备课札记
15
（名师导学）2020版高考数学总复习 第十章 直线与圆、圆锥曲线 第64讲 圆的方程练习 理（含解析）新人教A版
